Орбитальная скорость: уравнение vis-viva

Насколько быстро движется космический аппарат? Скажи мне, как далеко он находится от планеты и насколько велика его орбита, и одно короткое уравнение ответит на вопрос в любом месте на его пути. Планировщики миссий используют его каждый день.

Одно короткое уравнение даёт скорость в любом месте орбиты.

Посмотри.

Всё на орбите всегда меняет высоту на скорость, как скейтбордист на хафпайпе.

• Падая ближе к центральному телу, он ускоряется.
• Поднимаясь дальше, он замедляется.

В песочнице желтая стрелка показывает скорость: длинная стрелка, быстро; короткая стрелка, медленно. Смотрите, как она растет, когда тело качается внутрь, и уменьшается, когда оно поднимается наружу.

Земля делает то же самое, только мягче, потому что ее орбита почти круговая: она движется со скоростью около 30.3 км/с в начале января и около 29.3 км/с в начале июля.

Понимаю

Уравнение vis-viva (“живая сила”, старое слово для энергии) даёт скорость в любой точке:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: скорость
• μ: гравитационный параметр центрального тела (GM)
• r = расстояние от центра центрального элемента по току
• a: большая полуось орбиты

Проверьте это:

• Круг (r = a): v = √(μ/a). Это круговая скорость из урока Ньютона.
• В перигелии, r является наименьшим, так что 2/r является наибольшим и v является самым быстрым.
• Очень далеко на пути эвакуации (a → ∞): v = √(2μ/r). Это скорость ухода, о которой будет сказано в следующем уроке.

Работающий пример: Земля вокруг Солнца, μ = 1.327 × 10¹¹ км³/с², a = 149,6 миллионов км. В афелии r = 152,1 млн. км:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29.3 км/с.

Мастер

Vis-viva - это сохранение энергии под прикрытием. Удельная орбитальная энергия (энергия на килограмм)

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Кинетическая плюс потенциальная энергия постоянна вдоль орбиты и зависит только от a. Решите для v и вы получите vis-viva. Последствия:

• sign от ε классифицирует орбиту: отрицательная для эллипсов, ноль для параболы, положительная для гиперболы.
• На любом данном расстоянии скорость сама по себе определяет a. Вот почему один сгорание двигателя в одном пункте изменяет размер всей орбиты, и почему на следующих уроках можно будет говорить о бюджетах дельта-v.

Скорости в апсиде определяются из vis-viva при r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Их произведение v_p · v_a = μ/a = v_circ², так что круговая скорость является геометрическим средним из двух, а не средней арифметической. Это ответ на вопрос Попробуй.