Орбитална скорост: уравнението на вис-вива

Колко бързо се движи космическият кораб? Кажи ми колко далеч е от планетата и колко голяма е орбитата му, и едно кратко уравнение ще отговори на въпроса където и да е по пътя му. Мисиите го използват всеки ден.

Едно кратко уравнение дава скоростта навсякъде по орбитата.

Вижте.

Всичко в орбита винаги търгува височина за скорост, като скейтбордист на хафпайп.

• Попадайки по-близо до централното тяло, то се ускорява.
• Катерейки се, тя се забавя.

В пясъчника жълтата стрелка показва скоростта: дълга стрелка, бързо; къса стрелка, бавно. Гледайте как расте, докато тялото се люлее и се свива, когато излиза.

Земята прави същото, но по-леко, защото орбитата й е почти кръгова: тя се движи с около 30.3 км/сек в началото на януари и около 29.3 км/сек в началото на юли.

Разбирам.

• Да. Уравнение на вис-вива (“животна сила”, стара дума за енергия) дава скоростта във всяка точка:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: скорост
• μ: гравитационният параметър на централното тяло (ГП)
• разстояние на тока от центъра на централното тяло
• а: голяма полуос на орбитата

Проверете го:

• Кръг (r = a): v = √(μ/a). Това е кръговата скорост от урока на Нютон.
• В периапсидата, r е най-малкият, така че 2/r е най-голям и v е най-бърз.
• Много далеч по пътя на бягството (А → ∞): v = √(2μ/r). Това е скоростта на бягство, която ще разгледаме в следващия урок.

Работен пример: Земята около Слънцето, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 милиона км. В афел r = 152,1 милиона км:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Господарю.

Виж-вива е енергийно съхранение под прикритие. Специфичната орбитална енергия (енергия на килограм) е

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Постоянна е кинетичната и потенциалната енергия по орбитата и зависи само от а. Решаване за в и ще получите жив. Последици:

• • Да. знак Отрицателната част на ε класифицира орбитата: отрицателна за елипси, нула за параболи, положителна за хиперболи.
• При всяко дадено разстояние, скоростта сама по себе си определя а. Ето защо едно изгаряне на двигателя в един момент променя размера на цялата орбита и затова следващите уроци могат да говорят за делта-бюджети.

Скоростите на апсидите следват от вис-вива с r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Произведено от тях е v_p · v_a = μ/a = v_circ², така че кръговата скорост е геометричното средно на двете, а не средното аритметично. Това отговаря на въпроса Опитай.