Velocitat orbital: l' equació vis- viva

A quina velocitat es mou una nau espacial? Digueu-me quant de lluny està del planeta i quina és la seva òrbita, i una equació curta respondrà a la pregunta en qualsevol lloc al llarg del seu camí. Els planificadors de missions l’utilitzen cada dia.

Una equació curta dóna la velocitat en qualsevol lloc al llarg d’una òrbita.

Mira

Qualsevol cosa en òrbita sempre canvia l’altura per la velocitat, com un patinador en una mitja canonada.

• Quan cau més a prop del cos central, s’accelera.
• Quan s’allunya, es va alentint.

En la caixa de sorra, la fletxa groga mostra la velocitat: fletxa llarga, ràpid; fletxa curta, lent. Mira com creix mentre el cos s’hi mou, i es redueix quan surt.

La Terra fa el mateix, només que més suaument perquè la seva òrbita és gairebé circular: es mou a uns 30,3 km/s a principis de gener i a uns 29,3 km/s a principis de juliol.

Entesos

L’ equació vis- viva (“força viva”, una paraula antiga per a energia) dóna la velocitat en qualsevol punt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: velocitat
• μ: el paràmetre gravitatori del cos central (GM)
• r: la distància actual des del centre del cos central
• a: semieix major de l’ òrbita

Comprova-ho:

• Cercle (R = a): v = √(μ/a). Aquesta és la velocitat circular de la lliçó de Newton.
• Al periàpsis, r és el més petit, així que 2/r és el més gran i v és el més ràpid.
• Molt lluny en un camí d’escapament (a → ∞): v = √(2μ/r). Aquesta és la velocitat d’escapament, que es tractarà en la següent lliçó.

Exemple treballat: Terra al voltant del Sol, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 milions de km. At aphelion r = 152.1 million km:

La velocitat de la llum és v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Mestre

Vis-viva és conservació d’energia disfressada. L’ energia orbital específica (energia per quilogram) és

ε = v²/ 2 − μ/ r = −μ / (2a)

L’energia cinètica més l’energia potencial és constant al llarg de l’òrbita i només depèn d’a. Si resols per v, tens vis-viva. Conseqüències:

• El signe de ε classifica l’ òrbita: negativa per a el· lipses, zero per a una paràbola, positiva per a una hipèrbola.
• A qualsevol distància donada, la velocitat sola determina a. És per això que una sola combustió del motor en un punt canvia la mida de tota l’òrbita, i és per això que les properes lliçons poden parlar sobre els pressupostos delta-v.

Les velocitats de l’àpsis segueixen des de vis-viva amb r = a(1 ± e):

v_ p = √( μ/ a · (1+e) / (1−e)),   v_ a = √( μ/ a · (1−e) / (1+e))

El seu producte és v_p · v_a = μ/a = v_circ², de manera que la velocitat circular és la mitjana geomètrica dels dos, no la mitjana aritmètica. Això respon a la pregunta de provar-ho.