Prędkość orbitalna: równanie vis-viva

Jak szybko porusza się statek kosmiczny? Powiedz mi, jak daleko jest od planety i jak duża jest jej orbita, a jedno krótkie równanie odpowie na pytanie w dowolnym miejscu na jej drodze. Planiści misji używają go codziennie.

Jedno krótkie równanie podaje prędkość w dowolnym miejscu na orbicie.

Spójrz.

Wszystko na orbicie zawsze wymienia wysokość za prędkość, jak deskorolkarz na half-pipe.

• Zbliżając się do centralnego ciała, przyspiesza.
• Wspinając się dalej, zwalnia.

W piaskownicy żółta strzałka pokazuje prędkość: długa strzałka, szybko; krótka strzałka, wolno. Obserwuj, jak rośnie, gdy ciało się huśta i kurczy, gdy wychodzi.

Ziemia robi to samo, tylko delikatniej, ponieważ jej orbita jest prawie kołowa: porusza się z prędkością około 30,3 km/s na początku stycznia i około 29,3 km/s na początku lipca.

Rozumiem.

Równanie vis-viva (“siła żywa”, stare słowo oznaczające energię) podaje prędkość w dowolnym punkcie:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: prędkość
• μ: parametr grawitacyjny ciała centralnego (GM)
• r: aktualna odległość od środka ciała centralnego
• a: półosiowa oś orbity

Sprawdź to:

• Koło (R = a): v = √(μ/a). To jest prędkość kołowa z lekcji Newtona.
• Peryhelium, r jest najmniejszy, więc 2/r jest największy i v jest najszybszy.
• Bardzo daleko na ścieżce ucieczki (A → ∞): v = √(2μ/r). Jest to prędkość ucieczki, o której będzie mowa w następnej lekcji.

Przykład: Ziemia krąży wokół Słońca, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 mln km. W aphelium r = 152,1 mln km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Master

Vis-viva to oszczędność energii w przebraniu. Energia orbitalna właściwa (energia na kilogram) wynosi

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Energia kinetyczna plus potencjalna jest stała wzdłuż orbity i zależy tylko od a. Rozwiąż dla v i otrzymasz vis-viva. Konsekwencje:

• The Znak Wartość ε klasyfikuje orbitę: ujemna dla elipsy, zero dla paraboli, dodatnia dla hiperboli.
• Na danej odległości, sama prędkość określa a. Dlatego pojedyncze spalenie silnika w jednym punkcie zmienia wielkość całej orbity, i dlatego kolejne lekcje mogą mówić o delta-v budżetach.

Prędkości apsyd wypływają z vis-viva przy r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Ich iloczyn to v_p · v_a = μ/a = v_circ², więc prędkość kołowa jest średnią geometryczną tych dwóch wartości, a nie średnią arytmetyczną. To odpowiada na pytanie Wypróbuj.