Kiertoradan nopeus: vis-viva-yhtälö

Kuinka nopeasti avaruusalus liikkuu? Kerro minulle kuinka kaukana se on planeetasta ja kuinka suuri sen kiertorata on, niin yksi lyhyt yhtälö vastaa kysymykseen missä tahansa sen matkalla. Tehtävän suunnittelijat käyttävät sitä joka päivä.

Yksi lyhyt yhtälö antaa nopeuden missä tahansa pitkin rataa.

Katso.

Kaikki kiertoradalla oleva vaihtaa aina korkeutta nopeuteen, kuten skeittilautailija half-pipellä.

• Lähempänä keskeistä runkoa se nopeutuu.
• Kiipeäminen pois, se hidastuu.

Hiekkalaatikossa keltainen nuoli näyttää nopeuden: pitkä nuoli, nopea; lyhyt nuoli, hidas. Katso, miten se kasvaa kehon heilutellessa sisään ja kutistuu sen kiipeäessä ulos.

Maan kiertorata on lähes pyöreä, joten se liikkuu nopeudella 30,3 km/s tammikuun alussa ja 29,3 km/s heinäkuun alussa.

Ymmärrän.

• Mitä? Vis-viva -yhtälö (“elinvoima”, vanha sana energiaa varten) antaa nopeuden missä tahansa pisteessä:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: nopeus
• μ: keskuskappaleen gravitaatioparametri (GM)
• r: nykyinen etäisyys keskikappaleen keskuksesta
• a: kiertoradan puolisuurakseli

Tarkista se:

• Ympyrä (r = a): v = √(μ/a). Tämä on Newtonin oppitunnin pyöreä nopeus.
• Periapsis, r on pienin, joten 2/r on suurin ja v on nopein.
• Hyvin kaukana pakoreitillä (A → ∞): v = √(2μ/r). Tämä on pakonopeus, joka käsitellään seuraavassa oppitunnilla.

Esimerkki: Maan kierto Auringon ympäri, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 miljoonaa km. Aphelionissa r = 152,1 miljoonaa km:

v = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Mestari.

Vis-viva on energian säästämistä naamioituna. Ominaisenergia (energiaa kilogrammaa kohti) on

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kineettinen ja potentiaalinen energia ovat vakioita pitkin rataa ja riippuvat vain a:sta. Ratkaise v ja saat vis-viva. Seuraukset:

• • Mitä? merkki Radan luokittelu: negatiivinen eli ellipsi, nolla eli parabola ja positiivinen eli hyperbola.
• Mikä tahansa etäisyys, nopeus yksin määrittää a. Tämän vuoksi yksi moottorin palaminen yhdessä pisteessä muuttaa koko kiertoradan kokoa, ja siksi seuraavat oppitunnit voivat puhua delta-v budjetista.

Apsisnopeudet seuraavat vis-viva -tilanteesta, jossa r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Niiden tuloksena on v_p · v_a = μ/a = v_circ², joten pyöreä nopeus on näiden kahden geometrinen keskiarvo, ei aritmeettinen keskiarvo. Tämä vastaa Kokeile kysymykseen.