軌道速度：生存方程式

宇宙船はどれくらい速く動いていますか。 Tell me how far it is from the planet and how big its orbit is, and one short equation answers the question anywhere along its path. ミッションプランナーは毎日使う

軌道に沿ったどこでも速度を与える簡単な式がある。

見て

軌道上のものは スピードと高さを交換する ハーフパイプに乗るスケートボード選手のように

• 中央体に近づくと加速する。
• 遠くに登ると速度が落ちる

サンドボックスでは黄色の矢印が速度を示します。長い矢印は速く、短い矢印は遅いです。 体が入り込むと成長するのを見て 出てくる時に縮小する

Earth does the same thing, just gently because its orbit is almost circular: it moves about 30.3 km/s in early January and about 29.3 km/s in early July.

理解

vis-viva方程式（エネルギーの古い言葉である「生命力」）は、任意の点における速度を与える。

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: 速度
• μは中心天体の重力パラメータです
• r:中央体の中心からの電流の距離
• a:軌道の半長軸

確認してみろ

• 円 また、v = √(μ/a)である。 これがニュートンの教えから得られる円周速度である。
• 近点rが最小であるため，2／ｒは最大で，vは最も速い。
• Very far away on an escape path (a → ∞): v = √(2μ/r). これが次のレッスンで扱う逃走速度です。

Worked example: Earth around the Sun, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 million km. 遠点r=1.521億kmで：

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29.3 km/s。

マスター

ビスビバはエネルギー保存の変装だ。 The specific orbital energy (energy per kilogram) is

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

運動量＋ポテンシャルエネルギーは軌道に沿って一定であり，ａのみに依存する。 vを解けば 生きてる 結果:

• The sign of ε classifies the orbit: negative for ellipses, zero for a parabola, positive for a hyperbola.
• 任意の与えられた距離において，速度だけがａを決定する。 これが，ある点での単一エンジンの燃焼が軌道全体の大きさを変える理由であり，次のレッスンではデルタ‐ｖ予算について話すことができる。

ｒ＝ａ（1±ｅ）のとき，ｖｉｓ‐ｖｉｖａから次のような軸速度が得られた。

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Their product is v_p · v_a = μ/a = v_circ², so the circular speed is the geometric mean of the two, not the arithmetic mean. それで　試してみる質問に答えた