Kelajuan orbit: persamaan vis-viva

Berapa cepat pesawat angkasa bergerak? Beritahu saya berapa jauh ia dari planet dan betapa besar orbitnya, dan satu persamaan pendek menjawab soalan di mana-mana sepanjang laluannya. Perancang misi menggunakannya setiap hari.

Satu persamaan singkat memberi kelajuan di mana-mana sepanjang orbit.

Lihat

Apa-apa yang dalam orbit sentiasa bertukar ketinggian untuk kelajuan, seperti pemain papan selaju pada setengah paip.

• Terjatuh lebih dekat dengan badan pusat, ia mempercepatkan.
• Memanjat jauh, ia melambatkan.

Dalam kotak pasir, anak panah kuning menunjukkan kelajuan: anak panah panjang, pantas; anak panah pendek, perlahan. Lihatlah ia tumbuh apabila badannya masuk, dan mengecil ketika ia keluar.

Bumi melakukan perkara yang sama, hanya dengan lembut kerana orbitnya hampir bulat: ia bergerak sekitar 30.3 km / s pada awal Januari dan sekitar 29.3 km / s pada awal Julai.

Faham

The persamaan vis-viva (“kuasa hidup”, kata lama untuk tenaga) memberi kelajuan pada mana-mana titik:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: kelajuan
• nama objek
• r: jarak semasa dari pusat badan tengah
• a: paksi semi- utama orbit

Periksa:

• Bulan (r = a): v = √(μ/a). Itu adalah kelajuan bulatan dari pelajaran Newton.
• Pada periapsis, r adalah terkecil, jadi 2/r adalah terbesar dan v adalah terpantas.
• Sangat jauh pada laluan lari (a → ∞): v = √(2μ/r). Itu adalah kelajuan melarikan diri, dibincangkan dalam pelajaran seterusnya.

Contoh yang berfungsi: Bumi mengelilingi Matahari, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 juta km. Pada aphelion r = 152.1 juta km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29.3 km/s.

Master

Vis-viva adalah penyelamatan tenaga dalam sembunyi. Enerji orbit spesifik (enerji per kilogram) adalah

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetik plus tenaga potensi adalah tetap sepanjang orbit dan bergantung hanya pada a. Solve for v dan anda mendapat vis-viva. Konsekuensi:

• The tanda bagi ε mengklasifikasikan orbit: negatif untuk elips, sifar untuk parabola, positif untuk hiperbola.
• Pada jarak yang diberikan, kelajuan sendiri menentukan a. Inilah sebabnya mengapa satu enjin bakar pada satu titik mengubah saiz seluruh orbit, dan mengapa pelajaran seterusnya boleh bercakap tentang delta-v bajet.

Kelajuan apsis mengikut vis-viva dengan r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Hasilnya ialah v_p · v_a = μ/a = v_circ², jadi kelajuan bulat adalah purata geometrik daripada kedua-duanya, bukan purata aritmatik. Itu menjawab soalan cuba.