Viteza orbitală: ecuația vis-viva

Cât de repede se mișcă o navă spațială? Spune-mi cât de departe este de planetă și cât de mare este orbita sa, iar o scurtă ecuație răspunde la întrebare oriunde pe traiectoria sa. Planificatorii de misiuni o folosesc în fiecare zi.

O ecuație scurtă dă viteza oriunde de-a lungul unei orbite.

Uite.

Orice obiect aflat pe orbită schimbă întotdeauna înălțimea pentru viteză, ca un skateboarder pe o half-pipe.

• Căzând mai aproape de corpul central, se accelerează.
• Urcând departe, încetineşte.

În sandbox săgeata galbenă arată viteza: săgeată lungă, rapid; săgeată scurtă, lent. Priveste-l cum creste pe masura ce corpul se leagănă si se micsoreaza pe masura ce iese.

Pământul face același lucru, doar că mai ușor pentru că orbita sa este aproape circulară: se mișcă cu aproximativ 30.3 km/s la începutul lunii ianuarie și cu aproximativ 29.3 km/s la începutul lunii iulie.

Înţelegeţi.

• Nu. Ecuația vis-viva (“forţă vie”, un cuvânt vechi pentru energie) dă viteza în orice punct:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: viteza
• μ: parametrul gravitațional al corpului central (GM)
• r: distanta curentă de la centrul corpului central
• a: semiaxa mare a orbitei

Verificați-l:

• Cerc (R = a): v = √(μ/a). Aceasta este viteza circulară din lecția lui Newton.
• La periapsis, r este cel mai mic, deci 2/r este cel mai mare și v este cel mai rapid.
• Foarte departe pe o cale de evadare (A → ∞): v = √(2μ/r). Aceasta este viteza de evadare, acoperită în lecția următoare.

Exemplu lucrat: Pământul în jurul Soarelui, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 milioane km. La afeliu r = 152,1 milioane km:

V = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Maestre.

Vis-viva este conservarea energiei sub acoperire. Energia orbitală specifică (energie pe kilogram) este

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Energia cinetică plus energia potențială este constantă de-a lungul orbitei și depinde doar de a. Rezolvați pentru v și veți obține vis-viva. Consecințe:

• • Nu. semn Coeficientul lui ε clasifică orbita: negativ pentru elipsă, zero pentru parabolă, pozitiv pentru hiperbolă.
• La orice distanță dată, viteza singură determină a. De aceea, o singură ardere a motorului la un moment dat schimbă dimensiunea întregii orbite și de aceea în lecțiile următoare putem vorbi despre bugetele delta-v.

Vitezele apsite urmează de la vis-viva cu r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Produsul lor este v_p · v_a = μ/a = v_circ², deci viteza circulară este media geometrică a celor două, nu media aritmetică. Asta răspunde la întrebarea Încearcă.