Kecepatan orbit: persamaan vis-viva

Seberapa cepat pesawat ruang angkasa bergerak? Katakan padaku seberapa jauh dari planet dan seberapa besar orbitnya, dan satu persamaan singkat menjawab pertanyaan di manapun sepanjang jalurnya. Perencana misi menggunakannya setiap hari.

Satu persamaan singkat memberikan kecepatan di mana saja sepanjang orbit.

Lihat

Segala sesuatu di orbit selalu berdagang tinggi untuk kecepatan, seperti seorang skater pada setengah pipa.

• Terjatuh lebih dekat ke badan pusat, itu mempercepat.
• Memanjat jauh, itu memperlambat.

Di sandbox panah kuning menunjukkan kecepatan: panah panjang, cepat; panah pendek, lambat. Lihatlah bagaimana tubuhnya tumbuh dan mengecil saat ia memanjat keluar.

Bumi melakukan hal yang sama, hanya dengan lembut karena orbitnya hampir bulat: bergerak sekitar 30.3 km/s pada awal Januari dan sekitar 29.3 km/s pada awal Juli.

Mengerti

Persamaan vis-viva (“daya hidup”, kata lama untuk energi) memberikan kecepatan pada titik apapun:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: kecepatan
• μ: parameter gravitasi benda pusat (GM)
• r: jarak saat ini dari pusat badan pusat
• a: sumbu semi- utama orbit

Periksa:

• Lingkaran (R = a): v = √(μ/a). Itu adalah kecepatan lingkaran dari pelajaran Newton.
• Di periapsis, r adalah terkecil, sehingga 2/r adalah terbesar dan v adalah tercepat.
• Sangat jauh di jalur pelarian (a → ∞): v = √(2μ/r). Itu adalah kecepatan melarikan diri, dibahas dalam pelajaran berikutnya.

Contoh: Bumi mengelilingi Matahari, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 juta km. Pada aphelion r = 152.1 juta km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Master

Vis-viva adalah konservasi energi dalam seragam. Energi orbital spesifik (energi per kilogram) adalah

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetik plus energi potensial adalah konstan di sepanjang orbit dan hanya tergantung pada a. Selesaikan untuk v dan Anda mendapatkan vis-viva. Konsekuensi:

• Tanda **** dari ε mengklasifikasikan orbit: negatif untuk elips, nol untuk parabola, positif untuk hiperbola.
• Pada jarak tertentu, kecepatan sendiri menentukan a. Ini adalah mengapa satu mesin terbakar pada suatu titik mengubah ukuran dari seluruh orbit, dan mengapa pelajaran berikutnya dapat berbicara tentang delta-v anggaran.

Kecepatan apsis mengikuti dari vis-viva dengan r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Produk mereka adalah v_p · v_a = μ/a = v_circ², sehingga kecepatan lingkaran adalah rata-rata geometris dari keduanya, bukan rata-rata aritmetika. Itu menjawab pertanyaannya.