Orbitalna brzina: vis-viva jednadžba

Koliko brzo se kreće svemirska letjelica? Reci mi koliko je daleko od planeta i koliko je velika njegova orbita, a jedna kratka jednadžba odgovara na pitanje bilo gdje duž putanje. Planeri misija ga koriste svaki dan.

Jedna kratka jednadžba daje brzinu bilo gdje duž orbite.

Gledaj.

Sve u orbiti uvijek mijenja visinu za brzinu, poput skateboardera na polucijevi.

• Padajući bliže središnjem tijelu, ubrzava se.
• Kad se odmakne, usporava.

U pješčaniku žuta strelica pokazuje brzinu: duga strelica, brzo; kratka strelica, sporo. Gledajte kako raste dok se tijelo zavija i skuplja se dok se penje.

Zemlja čini istu stvar, samo nježno jer joj je orbita gotovo kružna: kreće se oko 30.3 km/s početkom siječnja i oko 29.3 km/s početkom srpnja.

Razumijem.

-Ne. Ne, ne. Vis-viva jednadžba (“živa sila”, stara riječ za energiju) daje brzinu u bilo kojoj točki:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: brzina
• μ: gravitacijski parametar središnjeg tijela (GM)
• r: trenutna udaljenost od središta središnjeg tijela
• a: velika poluos orbite

Provjerite:

• Krug (R = a): v = √(μ/a). To je kružna brzina iz Newtonove lekcije.
• U periapsidu, r je najmanji, tako da je 2/r najveći i v je najbrži.
• Jako daleko na putu bijega (A → ∞): v = √(2μ/r). To je brzina bijega, koja će biti obrađena u sljedećoj lekciji.

Worked example: Earth around the Sun, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 million km. U afeliu r = 152,1 milijuna km:

V = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Gospodaru.

Vis-viva je očuvanje energije u prerušenom obliku. Specifična orbitalna energija (energija po kilogramu) je

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetička i potencijalna energija su konstantne duž orbite i ovise samo o a. Rešite za v i dobit ćete vis-viva. Posljedice:

• -Ne. Ne, ne. znak Pozitivna vrijednost ε klasificira orbitu: negativna za elipse, nula za parabole, pozitivna za hiperbole.
• Na bilo kojoj danoj udaljenosti, brzina sama po sebi određuje a. Zato jedan izgaranj motora u jednom trenutku mijenja veličinu cijele orbite, i zato se u sljedećim satima može govoriti o delta-v proračunima.

Brzine apside slijede iz vis-viva sa r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Njihov proizvod je v_p · v_a = μ/a = v_circ², tako da je kružna brzina geometrijska srednja od dvaju, a ne aritmetička sredina. To odgovara na pitanje Pokušaj.