Tốc độ quỹ đạo: phương trình vis-viva

Một tàu vũ trụ di chuyển nhanh như thế nào? Nói tôi biết nó cách hành tinh bao xa và quỹ đạo của nó lớn như thế nào, và một phương trình ngắn sẽ trả lời câu hỏi ở bất kỳ đâu dọc theo đường đi của nó. Các nhà hoạch định nhiệm vụ sử dụng nó mỗi ngày.

Một phương trình ngắn cho tốc độ ở bất kỳ nơi nào dọc theo quỹ đạo.

Nhìn kìa.

Tất cả mọi thứ trong quỹ đạo luôn trao đổi độ cao với tốc độ, như một tay trượt băng trên đường half-pipe.

• Khi rơi gần hơn với cơ thể trung tâm, nó tăng tốc.
• Khi leo lên, nó sẽ chậm lại.

Trong sandbox mũi tên vàng chỉ tốc độ: mũi tên dài, nhanh; mũi tên ngắn, chậm. Xem nó phát triển khi cơ thể lắc vào, và co lại khi nó leo ra.

Earth does the same thing, just gently because its orbit is almost circular: it moves about 30.3 km/s in early January and about 29.3 km/s in early July.

Hiểu rồi.

• Đúng vậy. phương trình vis- viva (“lực sống”, một từ cũ cho năng lượng) cho tốc độ ở bất kỳ điểm nào:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• tốc độ
• μ: tham số hấp dẫn của vật thể trung tâm (GM)
• r: khoảng cách hiện tại từ trung tâm của vật thể trung tâm
• a: bán trục chính của quỹ đạo

Xem này:

• Vòng tròn (R = a): v = √(μ/a). Đó là tốc độ tròn từ bài học của Newton.
• Tại điểm cận nhật, r là nhỏ nhất, vì vậy 2/r là lớn nhất và v là nhanh nhất.
• Rất xa trên con đường thoát hiểm (A → ∞): v = √(2μ/r). Đó là tốc độ thoát, được đề cập trong bài học tiếp theo.

Ví dụ: Trái Đất quay quanh Mặt Trời, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 triệu km. Ở điểm cận nhật r = 152,1 triệu km:

V = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Thầy

Vis-viva là bảo tồn năng lượng giả tạo. Năng lượng quỹ đạo cụ thể (năng lượng trên mỗi kilogram) là

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Năng lượng động cộng với năng lượng tiềm ẩn là hằng số dọc theo quỹ đạo và chỉ phụ thuộc vào a. Giải cho v và bạn sẽ có vis-viva. Hậu quả:

• • Đúng vậy. dấu của ε phân loại quỹ đạo: âm cho elip, không cho parabola, dương cho hyperbola.
• Tại bất kỳ khoảng cách nào, chỉ tốc độ là quyết định a. Đây là lý do tại sao một động cơ cháy ở một điểm thay đổi kích thước của toàn bộ quỹ đạo, và tại sao bài học tiếp theo có thể nói về ngân sách delta-v.

Tốc độ apsis theo từ vis-viva với r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Khối lượng của chúng là v_p · v_a = μ/a = v_circ², vì vậy tốc độ vòng tròn là trung bình hình học của hai, không phải trung bình số học. Đó là câu trả lời cho câu hỏi thử đi.