Τροχιακή ταχύτητα: η εξίσωση

Πόσο γρήγορα κινείται ένα διαστημόπλοιο; Πες μου πόσο μακριά είναι από τον πλανήτη και πόσο μεγάλη είναι η τροχιά του, και μια σύντομη εξίσωση απαντά στην ερώτηση οπουδήποτε κατά μήκος της διαδρομής του. Οι σχεδιαστές αποστολών το χρησιμοποιούν καθημερινά.

Μια σύντομη εξίσωση δίνει την ταχύτητα οπουδήποτε κατά μήκος μιας τροχιάς.

Κοίτα.

Οτιδήποτε βρίσκεται σε τροχιά πάντα ανταλλάσσει το ύψος με την ταχύτητα, όπως ένας σκέιτμπορντερ σε ένα χαφ-σάιπ.

• Πέφτει πιο κοντά στο κεντρικό σώμα, επιταχύνει.
• Ανεβαίνοντας μακριά, επιβραδύνεται.

Στο κίτρινο βέλος δείχνει την ταχύτητα: μακρύ βέλος, γρήγορο; σύντομο βέλος, αργό. Παρακολουθήστε το να μεγαλώνει καθώς το σώμα αιωρείται μέσα και συρρικνώνεται καθώς ανεβαίνει έξω.

Η Γη κάνει το ίδιο πράγμα, μόνο που πιο απαλά επειδή η τροχιά της είναι σχεδόν κυκλική: κινείται με περίπου 30.3 χλμ/δευτερόλεπτο στις αρχές Ιανουαρίου και περίπου 29.3 χλμ/δευτερόλεπτο στις αρχές Ιουλίου.

Καταλάβετε

Η Εξίσωση ζωντανού σώματος (“ζωντανή δύναμη”, μια παλιά λέξη για την ενέργεια) δίνει την ταχύτητα σε οποιοδήποτε σημείο:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• β: ταχύτητα
• μ: η βαρυτική παράμετρος του κεντρικού σώματος (ΒΣ)
• τρέχουσα απόσταση από το κέντρο του κεντρικού σώματος
• α: ημιμεγάλος άξονας της τροχιάς

Δες το:

• Κύκλος (Α) = Α΄ κατηγορία, (Β) = Β΄ κατηγορία. Αυτή είναι η κυκλική ταχύτητα από το μάθημα του Νεύτωνα.
• Στην περιστροφή, r είναι μικρότερος, έτσι 2/r είναι μεγαλύτερος και v είναι ταχύτερος.
• Πολύ μακριά σε ένα μονοπάτι διαφυγής (Α) = 2β. Αυτή είναι η ταχύτητα διαφυγής, που θα την καλύψουμε στο επόμενο μάθημα.

Εργασιακό παράδειγμα: Γη γύρω από τον Ήλιο, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 εκατομμύρια χιλιόμετρα. At aphelion r = 152.1 million km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Κύριε.

Το βι-βίβα είναι η μεταμφιεσμένη διατήρηση της ενέργειας. Η ειδική τροχιακή ενέργεια (ενέργεια ανά χιλιόγραμμο) είναι

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2α)

Η κινητική συν δυναμική ενέργεια είναι σταθερή κατά μήκος της τροχιάς και εξαρτάται μόνο από το a. Λύστε για v και θα πάρετε vis-viva. Συνέπειες:

• Η Σημάδι Το ε ταξινομεί την τροχιά: αρνητική για ελλείψεις, μηδέν για παραβολή, θετική για υπερβολή.
• Σε οποιαδήποτε δεδομένη απόσταση, η ταχύτητα καθορίζει μόνο το a. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ένα μόνο κάψιμο κινητήρα σε ένα σημείο αλλάζει το μέγεθος ολόκληρης της τροχιάς, και γιατί τα επόμενα μαθήματα μπορούν να μιλήσουν για προϋπολογισμούς δέλτα-β.

Οι ταχύτητες της άψης ακολουθούν από την ζώσα κατάσταση με r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Το γινόμενο τους είναι v_p · v_a = μ/a = v_circ², έτσι η κυκλική ταχύτητα είναι ο γεωμετρικός μέσος των δύο, όχι ο αριθμητικός μέσος. Αυτό απαντά στην ερώτηση Δοκιμάστε το.