السرعة المدارية : معادلة الحياة الحية

ما هي سرعة تحرك المركبة الفضائية؟ أخبرني كم هو بعيد عن الكوكب وكم هو كبير مداره، ومعادلة قصيرة واحدة تجيب على السؤال في أي مكان على طول مساره. مخططو البعثات يستخدمونه كل يوم.

وتعطي معادلة قصيرة واحدة السرعة في أي مكان على مدار.

انظر

أي شيء في المدار دائماً يقوم بمبادلة الارتفاع بالسرعة، مثل متزلج على لوح التزحلق على نصف أنبوب.

• يسقط أقرب إلى الجسم المركزي، وتسرع.
• تسلق بعيداً، يبطئ.

في صندوق الرمال يظهر السهم الأصفر السرعة: سهم طويل، سريع؛ سهم قصير، بطيء. راقبيه ينمو بينما يتأرجح الجسد داخله و يتقلص بينما يتسلق خارجا

وتفعل الأرض نفس الشيء، ولكن ببطء لأن مدارها دائري تقريباً: فهي تتحرك بحوالي 30.3 كم/ثانية في أوائل كانون الثاني/يناير وحوالي 29.3 كم/ثانية في أوائل تموز/يوليه.

فهمت

المعادلة vis-viva (“القوة الحية”، كلمة قديمة للطاقة) تعطي السرعة في أي نقطة:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: السرعة
• μ: بارامترات الجاذبية للجسم المركزي (GM)
• r : المسافة الحالية من مركز الجسم المركزي
• أ: نصف المحور الرئيسي للمدار

تحقق من ذلك:

• دائرة (r = a): v = √(μ/a). هذه هي السرعة الدائرية من درس نيوتن.
• عند نقطة الحضيض, r هي الأصغر، وبالتالي 2/r هي الأكبر و v هي الأسرع.
• بعيدا جدا على مسار الهروب (a → ∞): v = √(2μ/r). وهذه هي سرعة الهروب، التي سيتم تناولها في الدرس التالي.

مثال عملي: الأرض حول الشمس، μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s²، a = 149.6 مليون كم. في نقطة الأوج r = 152.1 مليون كم:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29.3 كم/ث.

الماجستير

إن الحفاظ على الحياة هو حفظ الطاقة مقنعاً. الطاقة المدارية النوعية (الطاقة لكل كيلوغرام) هي

ε = v²/2 - μ/r = -μ / (2أ)

والطاقة الحركية مضافا إليها الطاقة الكامنة ثابتة على طول المدار ولا تعتمد إلا على a. حلّ لـ (في) و ستحصل على حياة. النتائج:

• علامة **** من ε تصنف المدار: سالب للإهليلجات، صفر للمنطقية، إيجابي للزائد.
• عند أي مسافة معينة، تحدد السرعة وحدها a. وهذا هو السبب في أن احتراق محرك واحد في نقطة ما يغير حجم المدار بأكمله، ولهذا يمكن للدروس القادمة أن تتحدث عن ميزانيات دلتا-في.

وتتبع سرعات المحور من الحالة الحية مع r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1-e))،   v_a = √(μ/a · (1-e)/(1+e))

حاصل ضربهما هو v_p · v_a = μ/a = v_circ²، وبالتالي فإن السرعة الدائرية هي المتوسط الهندسي للاثنين، وليس المتوسط الحسابي. هذا يجيب على سؤال “جربه”