Omløpshastighet: vis-viva-ligningen

Hvor fort beveger et romfartøy seg? Fortell meg hvor langt den er fra planeten og hvor stor banen er, så svarer en kort ligning på spørsmålet hvor som helst langs banen. Oppdragsplanleggere bruker det hver dag.

En kort ligning gir hastigheten hvor som helst langs en bane.

Se.

Alt i bane bytter alltid høyde mot fart, som en skateboarder på et halvrør.

• Faller nærmere den sentrale kroppen, det akselererer.
• Når den klatrer bort, bremser den ned.

I sandkassen viser den gule pilen hastigheten: lang pil, rask; kort pil, treg. Se den vokse når kroppen svinger inn, og krympe som det klatrer ut.

Earth does the same thing, just gently because its orbit is almost circular: it moves about 30.3 km/s in early January and about 29.3 km/s in early July.

Forstår

The vis- viva- ligning (“levende kraft”, et gammelt ord for energi) gir hastigheten på ethvert punkt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: hastighet
• μ: sentrallegemets gravitasjonsparameter (GM)
• r: nåværende avstand fra sentrum av det sentrale legemet
• a: halvstore akse av banen

Sjekk det ut:

• Sirkel (R = a): v = √(μ/a). Det er den sirkulære hastigheten fra Newtons leksjon.
• Ved periapsis, r er minst, så 2/r er størst og v er raskest.
• Veldig langt unna på en fluktvei (A → ∞): v = √(2μ/r). Det er flukthastigheten, som vi skal se på i neste leksjon.

Jorden går i bane rundt solen, μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 millioner km. Ved aphelium r = 152,1 millioner km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Master

Vis-viva er energibesparelse i forkledning. Den spesifikke baneenergien (energi per kilogram) er

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetisk pluss potensiell energi er konstant langs banen og avhenger bare av a. Løs for v og du får vis-viva. Konsekvenser:

• The tegn Den negative verdien av ε klassifiserer banen: negativ for ellipser, null for en parabol, positiv for en hyperbel.
• Ved en gitt avstand bestemmer hastigheten alene a. Dette er grunnen til at en enkelt motor brenner på ett punkt endrer størrelsen på hele banen, og hvorfor de neste leksjonene kan snakke om delta-v budsjetter.

Apsishastighetene følger fra vis-viva med r = a(1 ± e):

v_ p = √( μ/ a · (1+e) / (1−e)),   v_ a = √( μ/ a · (1−e) / (1+e))

Deres produkt er v_p · v_a = μ/a = v_circ², så den sirkulære hastigheten er det geometriske gjennomsnittet av de to, ikke det aritmetiske gjennomsnittet. Det svarer på Prøv det-spørsmålet.