Velocità orbitale: l'equazione vis-viva

Quanto velocemente si muove una navicella spaziale? Dimmi quanto è lontano dal pianeta e quanto grande è la sua orbita, e una breve equazione risponde alla domanda ovunque lungo il suo percorso. I pianificatori delle missioni lo usano ogni giorno.

Una breve equazione dà la velocità ovunque lungo un’orbita.

Guarda.

Qualsiasi cosa in orbita sta sempre scambiando altezza per velocità, come uno skateboarder su un half-pipe.

• Cadendo più vicino al corpo centrale, accelera.
• Salire via, rallenta.

Nella sandbox la freccia gialla mostra la velocità: freccia lunga, veloce; freccia corta, lento. Guardala crescere mentre il corpo oscilla dentro, e ridursi come si arrampica fuori.

La Terra fa la stessa cosa, solo più lentamente perché la sua orbita è quasi circolare: si muove a circa 30,3 km/s all’inizio di gennaio e a circa 29,3 km/s all’inizio di luglio.

Capisci?

L’equazione vis-viva (“forza vivente”, un vecchio termine per energia) dà la velocità in qualsiasi punto:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: velocità
• μ: il parametro gravitazionale del corpo centrale (GM)
• r: distanza corrente dal centro del corpo centrale
• a: semiasse maggiore dell’orbita

Controllalo:

• Cerchio (R = a): v = √(μ/a). Questa è la velocità circolare della lezione di Newton.
• Al periapsis, r è il più piccolo, quindi 2/r è il più grande e v è il più veloce.
• Molto lontano su una via di fuga (A → ∞): v = √(2μ/r). Questa è la velocità di fuga, trattata nella prossima lezione.

Esempio di lavoro: Terra intorno al Sole, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 milioni di km. All’afelio r = 152,1 milioni di km:

La velocità di rotazione è: v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Maestro.

Vis-viva è la conservazione dell’energia sotto mentite spoglie. L’energia orbitale specifica (energia per chilogrammo) è

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

L’energia cinetica più potenziale è costante lungo l’orbita e dipende solo da a. Risolvere per v e si ottiene vis-viva. Conseguenze:

• Il segno Il valore di ε classifica l’orbita: negativo per le ellissi, zero per una parabola, positivo per un’iperbola.
• A qualsiasi distanza, la velocità da sola determina a. Questo è il motivo per cui un singolo motore brucia in un punto cambia la dimensione dell’intera orbita, e perché le prossime lezioni possono parlare di delta-v budget.

Le velocità di apse seguono da vis-viva con r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Il loro prodotto è v_p · v_a = μ/a = v_circ², quindi la velocità circolare è la media geometrica dei due, non la media aritmetica. Questa è la risposta alla domanda Provalo.