مداري رفتار: vis- viva مساوات

فضائي جهاز ڪيتري تيزي سان هلندو آھي؟ مون کي ٻڌايو ته اهو سیاري کان ڪيترو پري آهي ۽ ان جي مدار ڪيترو وڏو آهي، ۽ هڪ مختصر معادلو سوال جو جواب ڏئي ٿو جتي به ان جي واٽ تي هجي. مشن پلانر ان کي هر ڏينهن استعمال ڪندا آهن.

هڪ مختصر معادلو مدار جي ڪنهن به جاءِ تي رفتار ڏي ٿو.

ڏسو

مدار ۾ ڪابه شيءِ هميشه رفتار لاءِ بلندي جي واپار ڪري ٿي، جيئن هڪ اڌ پائپ تي اسڪيٽ بورڊر.

• جيڪڏھن اھو مرڪزي جسم کي ويجهو اچي ٿو ته تيزي سان وڌندو آھي.
• لهي وڃڻ سان، اهو آهستي ٿي ويندو.

رڻ بڪس ۾ پيلو ڪنارو رفتار ڏيکاريندو آھي: ڊگھو ڪنارو، تيز؛ ننڍو ڪنارو، ھلڪو. ڏسو ته جيئن جسم اندر وڌي ٿو ۽ جيئن ٻاهر نڪري ٿو.

زمين به اها ئي ڳالهه ڪري ٿي، پر ٿورو نرمي سان ڇو ته ان جي مدار تقريبن دائرو آهي: جنوري جي شروعات ۾ اهو 30.3 ڪلوميٽر / سيڪنڊ تي هلندو آهي ۽ جولاءِ جي شروعات ۾ 29.3 ڪلوميٽر / سيڪنڊ تي.

سمجھو

vis-viva equation (“living force”, energy لاءِ پراڻو لفظ) ڪنهن به نقطي تي رفتار ڏي ٿو:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• رفتار
• μ: مرڪزي جسم جو گرانش پاراميٽر (GM)
• r: مرڪزي جسم جي وچ کان موجوده فاصلو
• a: مدار جي اڌ وڏي ڪناري

چيڪ ڪريو:

• دائرو (r = a): v = √(μ/a). اھو نيوٽن جي درس مان دائري جي رفتار آھي.
• ويجھو, r تمام ننڍو آھي، تنھنڪري 2/r وڏو آھي ۽ v تيز آھي.
• وڌيڪ پري هڪ نڪتو رستي تي (a → ∞): v = √(2μ/r). اهو ڀڄڻ جي رفتار آهي، جيڪو ايندڙ درس ۾ coveredڪيل آهي.

مثال: سج جي چوڌاري زمين، μ = 1.327 × 10¹¹ ڪلوميٽر مکيه/سيڪنڊ²، a = 149.6 ملين ڪلوميٽر. At aphelion r = 152.1 million km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

ماسٽر

فيس-ويوا توانائي جي بچاءَ ۾ لڪائڻ آهي. خاص مداري توانائي (انرجي في ڪلوگرام) آھي

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

کين اهو به معلوم ٿيو ته زمين جي مدار ۾ ڪائنات جي گردش جو وقت صرف هڪ ڏينهن آهي. v لاءِ حل ڪريو ۽ توهان vis-viva حاصل ڪندا. نتيجا:

• ھي نشان ε جي درجه بندي orbits: منفي لاء بيضو، صفر لاءِ هڪ parabola، مثبت لاء ھائيپربولا.
• ڪنهن به ڏنل فاصلي تي، صرف رفتار a کي طئي ڪري ٿي. اهو ئي سبب آهي ته هڪ نقطي تي هڪ واحد انجن جي روشني ۾ تبديل ٿئي ٿو پوري مدار جي سائيز، ۽ ڇو پويان سکيا ڊيلٽا-V بجيٽ بابت ڳالهائي سگهن ٿا.

Apsis رفتارون vis-viva کان r = a(1 ± e) سان تابع آھن:

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e))،   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

انھن جو نتيجو v_p · v_a = μ/a = v_circ² آھي، تنھنڪري دائري جي رفتار ٻنھي جي جيوميٽرڪ وچولي آھي، نه ته حسابياتي وچولي. اهو جواب ڏي ته ڪوشش ڪريو سوال.