A equação do foguete e delta-v

Em 1903, um professor surdo em Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, escreveu a equação que ainda determina o tamanho de todos os foguetes. Explica por que um Falcon 9 é cerca de 89% propelente, por que a carga útil é apenas alguns por cento do peso na decolagem e por que os foguetes deixam cair partes de si mesmos no caminho para cima.

Cada foguete é uma corrida entre a velocidade que você deseja e a massa que você deve transportar para obtê-lo.

Olha.

Um foguete se move jogando massa para trás. Jogue-o mais rápido, ou jogue mais dele, e você vai mais rápido. Há um problema: o combustível que você ainda não queimou também deve ser transportado e acelerado. Isso faz o ganho logarítmica: para adicionar a mesma quantidade de velocidade novamente, você deve multiplicar o combustível, não adicionar a ele.

Delta-v (Δv, “mudança de velocidade”) é a moeda dos voos espaciais. Cada manobra tem um preço em km/s:

• Superfície da Terra para órbita baixa: cerca de 9,4 km/s, incluindo perdas.
• Órbita baixa para órbita geoestacionária: cerca de 3,9 km/s.
• Órbita baixa até deixar a Terra para Marte: cerca de 3,6 km/s.

O orçamento de um foguete é quanto Δv seus motores, combustível e massa podem entregar.

Entenda.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: impulso específico, uma medida da eficiência do motor em segundos (velocidade de escape dividida por g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², gravidade padrão.
• m₀: massa no início da queima; m_f: massa no final.

Exemplo com o segundo estágio do foguete simulado (Isp 348 s): cheio, ele pesa cerca de 112 toneladas incluindo uma carga útil de 15 toneladas; vazio de propelente, cerca de 19 toneladas.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. O primeiro estágio adiciona o resto.

Um único estágio com uma razão de massa de 10 e Isp 350 s dá apenas 7,9 km/s, não suficiente para a órbita uma vez que as perdas são contadas, e uma estrutura que é apenas 10% do total já é muito leve. É por isso que quase todos os foguetes orbitais usam dois ou mais estágios.

Mestre

O estagiamento multiplica as razões de massa. Para um veículo de dois estágios,

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

onde a massa inicial do segundo estágio exclui tudo que o primeiro estágio jogou fora. Otimizar a divisão entre os estágios (para Isp igual, aproximadamente igual Δv por estágio) é um problema clássico: fração de carga útil A velocidade de rotação cai exponencialmente com o Δv necessário, e é por isso que diminuir o Δv para a órbita em algumas centenas de m/s (lançamento a leste, perto do equador) importa tanto.

A equação também explica a lógica dos primeiros estágios reutilizáveis: eles voam de volta usando combustível que, de outra forma, teria sido capacidade de carga útil, trocando alguns por cento da carga útil para não jogar fora a parte mais cara do foguete.