De raketvergelijking en delta-v

In 1903 schreef een dove schoolleraar in Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, de vergelijking op die nog steeds elke raket afmeet. Het verklaart waarom een Falcon 9 ongeveer 89% stuwstof bevat, waarom de lading slechts enkele procenten van het gewicht is bij de start en waarom raketten onderweg naar boven delen van zichzelf laten vallen.

Elke raket is een race tussen de snelheid die je wilt en de massa die je moet dragen om het te krijgen.

Kijk.

Een raket beweegt door massa naar achteren te gooien. Gooi het sneller, of gooi er meer van en je gaat sneller. Er zit een vangnetje aan: de brandstof die je nog niet hebt verbrand moet ook worden meegenomen en versneld. Dat maakt de winst logaritmisch: om dezelfde hoeveelheid snelheid weer toe te voegen, moet je de brandstof vermenigvuldigen, niet erbij optellen.

Delta-v (Δv, “verandering in snelheid”) is de valuta van ruimtevaart. Elke manoeuvre heeft een prijs in km/s:

• Van het aardoppervlak naar een lage baan: ongeveer 9,4 km/s, inclusief verliezen.
• Lage baan naar geostationaire baan: ongeveer 3,9 km/s.
• Lage baan om de aarde te verlaten voor Mars: ongeveer 3,6 km/s.

Het budget van een raket is hoeveel Δv zijn motoren, brandstof en massa kunnen leveren.

Begrijp je?

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: specifieke impuls, een maat voor de efficiëntie van de motor in seconden (uitlaatsnelheid gedeeld door g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², standaard zwaartekracht.
• m₀: massa aan het begin van de verbranding; m_f: massa aan het einde.

Voorbeeld met de tweede trap van de gesimuleerde raket (Isp 348 s): vol weegt hij ongeveer 112 ton inclusief een lading van 15 ton; leeg van stuwstof, ongeveer 19 ton.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. De eerste fase voegt de rest toe.

Een enkele trap met een massaverhouding van 10 en Isp 350 s geeft slechts 7,9 km/s, niet genoeg voor een baan als de verliezen worden geteld, en een structuur die slechts 10% van het totaal is al zeer licht. Daarom gebruikt bijna elke orbitale raket twee of meer trappen.

Meester

Staging vermenigvuldigt massaverhoudingen. Voor een twee-traps voertuig,

Δv_totaal = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

De massa van de tweede trap is dus groter dan die van de eerste trap. Het optimaliseren van de split tussen de trappen (voor gelijke Isp, ongeveer gelijk Δv per trap) is een klassiek probleem: de nuttige lading daalt exponentieel met de vereiste Δv, wat de reden is waarom het verlagen van de Δv naar een baan met enkele honderden m/s (lancering in het oosten, vlakbij de evenaar) zo belangrijk is.

De vergelijking verklaart ook de logica van herbruikbare eerste trappen: ze vliegen terug met brandstof die anders nuttige lading zou zijn geweest, waarbij een paar procent van de nuttige lading wordt ingeruild voor het niet weggooien van het duurste deel van de raket.