রকেট সমীকরণ এবং ডেল্টা-ভি

1903 সালে কালুগার একজন বধির স্কুল শিক্ষক কনস্টান্টিন সিওলকভস্কি সেই সমীকরণটি লিখেছিলেন যা এখনো প্রতিটি রকেটের আকার নির্ধারণ করে। এটা ব্যাখ্যা করে কেন ফ্যালকন 9 এর 89% প্রপেলার, কেন পেলোডের ওজন মাত্র কয়েক শতাংশ এবং কেন রকেটগুলো তাদের নিজেদের কিছু অংশ ফেলে দেয়।

প্রত্যেকটি রকেটই একটা প্রতিযোগিতা… …তুমি যে গতি চাস আর তা পাওয়ার জন্য তোমাকে কতটা ওজন বহন করতে হবে তার মধ্যে।

দেখো

একটি রকেট পেছন দিকে ভর ছুঁড়ে সরে যায় । তাড়াতাড়ি ছুঁড়ে দাও, অথবা আরো বেশি ছুঁড়ে দাও, আর তুমি আরও দ্রুত চলে যাবে। এখানে একটা ফাঁদ আছে: এখনো যে জ্বালানি আপনি পুড়িয়ে দেননি, সেটাও বহন করতে হবে এবং তা গতিশীল হতে হবে। এর ফলে গতি বাড়ে লঘুমাত্রিক: আবার একই পরিমাণ গতি যোগ করতে গেলে জ্বালানি গুণতে হবে, যোগ করা যাবে না।

ডেল্টা-ভি (Δv, “গতি পরিবর্তন”) হল মহাকাশে উড্ডয়নের মুদ্রা। প্রতিটি কৌশলের মূল্য কিলোমিটার/সেকেন্ডে:

• পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে নিম্ন কক্ষপথ: প্রায় 9.4 কিলোমিটার / সেকেন্ড, ক্ষতি সহ।
• নিম্ন কক্ষপথ থেকে ভূস্থির কক্ষপথ: প্রায় 3.9 কিমি/সেকেন্ড।
• পৃথিবী ছেড়ে মঙ্গলগ্রহে যাওয়ার জন্য নিম্ন কক্ষপথ: প্রায় 3.6 কিমি/সেকেন্ড।

একটি রকেটের বাজেট হচ্ছে তার ইঞ্জিন, জ্বালানি এবং ভর কতটা সরবরাহ করতে পারে।

বুঝতে পেরেছি

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: নির্দিষ্ট ইম্পলস, সেকেন্ডে ইঞ্জিনের কার্যক্ষমতার পরিমাপ (g₀ দ্বারা বিভক্ত এক্সহাউট গতি)।
• g₀ = 9.80665 m/s², আদর্শ মহাকর্ষ।
• m₀: বার্নের শুরুতে ভর; m_f: শেষে ভর।

সিমুলেটেড রকেটের দ্বিতীয় পর্যায়ের উদাহরণ (Isp 348 s): সম্পূর্ণ, এর ওজন প্রায় 112 টন যার মধ্যে একটি 15-টন পেলোড; প্রজেক্টিলেন্ট ফাঁকা, প্রায় 19 টন। Δv = 348 × 9.81 × ln(112 / 19) ≈ 6.0 km/s. প্রথম পর্যায়ে বাকিগুলো যোগ করা হয়।

10 এবং Isp 350 s এর একটি একক স্তরের সাথে একটি ভর অনুপাত শুধুমাত্র 7.9 km/s দেয়, কক্ষপথের জন্য যথেষ্ট নয় যখন ক্ষতি গণনা করা হয়, এবং একটি কাঠামো যা মোট 10% ইতিমধ্যেই খুব হালকা। এই কারণেই প্রায় প্রতিটি কক্ষপথে চলাচলকারী রকেট দুই বা ততোধিক পর্যায় ব্যবহার করে।

মাস্টার

স্টেজিং ভর অনুপাত গুণ করে। দুই পর্যায়ের গাড়ির জন্য,

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

যেখানে দ্বিতীয় পর্যায়ের শুরুর ভর প্রথম স্তরের সবকিছু বর্জন করে। স্টেজগুলির মধ্যে বিভাজনকে সর্বোত্তম করা (সমান ISP এর জন্য, প্রতিটি স্তরে প্রায় সমান Δv) একটি ক্লাসিক সমস্যা: পেলোড অংশ প্রয়োজনীয় Δv এর সাথে ক্রমবর্ধমানভাবে কমে যায়, তাই কক্ষপথে Δv কে কয়েক শত মিটার / সেকেন্ডের দ্বারা হ্রাস করা (পূর্ব দিকে উত্থাপন, নিরক্ষরেখার কাছে) এত গুরুত্বপূর্ণ।

এই সমীকরণটি আবার পুনরায় ব্যবহারযোগ্য প্রথম স্তরের যুক্তিও ব্যাখ্যা করে: তারা ফিরে যাওয়ার সময় যে জ্বালানি ব্যবহার করবে তা অন্যথায় পেলোডের ক্ষমতা হবে, রকেটের সবচেয়ে মূল্যবান অংশ ফেলে না দেয়ার জন্যে পেলোডের কয়েক শতাংশ বিনিময়ে।