Die Raketengleichung und Delta-v

1903 schrieb ein gehörloser Schullehrer in Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, die Gleichung auf, nach der bis heute jede Rakete dimensioniert wird. Es erklärt, warum eine Falcon 9 zu etwa 89% aus Treibstoff besteht, warum die Nutzlast beim Start nur wenige Prozent des Gewichts ausmacht und warum Raketen auf dem Weg nach oben Teile von sich selbst abwerfen.

Jede Rakete ist ein Rennen zwischen der gewünschten Geschwindigkeit und der Masse, die man tragen muss, um sie zu erreichen.

Look

Eine Rakete bewegt sich, indem sie Masse nach hinten wirft. Werfen Sie es schneller, oder werfen Sie mehr davon, und Sie gehen schneller. Es gibt einen Haken: Der Treibstoff, den Sie noch nicht verbrannt haben, muss auch getragen und beschleunigt werden. Das macht den Gewinn logarithmisch: um die gleiche Menge an Geschwindigkeit wieder hinzuzufügen, muss man den Kraftstoff multiplizieren, nicht hinzufügen.

Delta-v (Δv, “Geschwindigkeitsänderung”) ist die Währung der Raumfahrt. Jedes Manöver hat einen Preis in km/s:

• Erdoberfläche bis niedrige Umlaufbahn: etwa 9,4 km/s, einschließlich Verluste.
• Niedrige Umlaufbahn zur geostationären Umlaufbahn: etwa 3,9 km/s.
• Niedrige Umlaufbahn bis zum Verlassen der Erde für den Mars: etwa 3,6 km/s.

Das Budget einer Rakete ist, wie viel Δv ihre Triebwerke, Treibstoff und Masse liefern können.

Understand

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: spezifischer Impuls, ein Maß für den Wirkungsgrad des Motors in Sekunden (Abgasgeschwindigkeit geteilt durch g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², Standardschwerkraft.
• m₀: Masse zu Beginn der Verbrennung; m_f: Masse am Ende.

Beispiel mit der zweiten Stufe der simulierten Rakete (Isp 348 s): voll, sie wiegt etwa 112 Tonnen inklusive einer 15-Tonnen-Nutzlast; leer von Treibstoff, etwa 19 Tonnen.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Die erste Stufe fügt den Rest hinzu.

Eine Einzelstufe mit einem Massenverhältnis von 10 und Isp 350 s ergibt nur 7,9 km/s, nicht genug für eine Umlaufbahn, wenn Verluste gezählt werden, und eine Struktur, die nur 10% der Gesamtmenge ausmacht, ist bereits sehr leicht. Deshalb verwendet fast jede Orbitalrakete zwei oder mehr Stufen.

Master

Die Etablierung multipliziert Massenverhältnisse. Für ein zweistufiges Fahrzeug,

Δv_gesamt = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

Die Startmasse der zweiten Stufe schließt alles aus, was die erste Stufe weggeworfen hat. Die Optimierung der Aufteilung zwischen den Stufen (bei gleichem Isp etwa gleiches Δv pro Stufe) ist ein klassisches Problem: Der Nutzlastanteil fällt mit dem benötigten Δv exponentiell ab, weshalb es so wichtig ist, das Δv um einige hundert m/s in die Umlaufbahn zu senken (Start östlich, nahe des Äquators).

Die Gleichung erklärt auch die Logik der wiederverwendbaren ersten Stufen: Sie fliegen mit Treibstoff zurück, der sonst Nutzlastkapazität gewesen wäre, und tauschen ein paar Prozent der Nutzlast dafür aus, dass sie nicht den teuersten Teil der Rakete wegwerfen.