Raketna jednadžba i delta-v

Gluhi učitelj u Kalugi, Konstantin Ciolkovski, zapisao je 1903. godine jednadžbu koja i danas određuje veličinu svake rakete. Objašnjava zašto je Falcon 9 oko 89% pogonskog goriva, zašto je korisni teret samo nekoliko posto težine pri polijetanju i zašto rakete ispuštaju dijelove sebe na putu prema gore.

Svaka raketa je utrka između željene brzine i mase koju morate nositi da biste je dobili.

Gledaj.

Raketa se kreće bacanjem mase unatrag. Baci ga brže, ili baci više i ideš brže. Postoji ulov: gorivo koje još niste sagorjeli također se mora nositi i ubrzavati. To je dobit. logaritamski: da biste ponovno dodali istu količinu brzine, morate pomnožiti gorivo, a ne dodati ga.

Delta-v (Δv, “promjena u brzini”) je valuta svemirskih letova. Svaki manevar ima cijenu u km/s:

• Zemljina površina do niske orbite: oko 9,4 km/s, uključujući gubitke.
• Niska orbita do geostacionarne orbite: oko 3,9 km/s.
• Niska orbita do napuštanja Zemlje za Mars: oko 3,6 km/s.

Raketa je opremljena s motorima koji mogu proizvesti energiju, gorivo i masu.

Razumijem.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: specifični impuls, mjera učinkovitosti motora u sekundama (brzina ispuha podijeljena s g₀).
• g₀ = 9.80665 m/s², standard gravity.
• m₀: masa na početku izgaranja; m_f: masa na kraju.

Primjer s drugim stupnjem simulirane rakete (Isp 348 s): pun, teži oko 112 tona uključujući i 15-tonski korisni teret; prazan od pogonskog goriva, oko 19 tona.Δv = 348 × 9.81 × ln(112 / 19) ≈ 6.0 km/s. Prva faza dodaje ostatak.

Jedan stupanj s omjerom mase od 10 i Isp-om 350 s daje samo 7,9 km/s, što nije dovoljno za orbitu kada se računaju gubici, a struktura koja čini samo 10% ukupnog broja je već vrlo lagana. U većini slučajeva, rakete imaju dva ili više stupnjeva.

Gospodaru.

Staging množi masene omjere. Za dvostupanjsko vozilo,

Δv_ukupno = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

gdje početna masa drugog stupnja isključuje sve što je prvi stupanj bacio. Optimizacija razdvajanja između stupnjeva (za jednaku Isp, otprilike jednak Δv po stupnju) je klasičan problem: frakcija korisnog tereta pada eksponencijalno s potrebnom Δv, zbog čega je snižavanje Δv u orbitu za nekoliko stotina m/s (lansirajući istočno, blizu ekvatora) toliko važno.

Jednadžba također objašnjava logiku višekratno upotrebljivih prvih stupnjeva: oni lete natrag koristeći gorivo koje bi inače bilo korisni kapacitet, mijenjajući nekoliko posto korisnog tereta za ne bacanje najskupljeg dijela rakete.