L'equació del coet i delta-v

El 1903 un professor sord de Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, va escriure l’equació que encara mesura cada coet. Explica per què un Falcon 9 és al voltant del 89% de propel·lent, per què la càrrega útil és només un pocs per cent del pes en l’enlairament, i per què els coets deixen caure parts d’ells mateixos en el camí cap amunt.

Cada coet és una cursa entre la velocitat que vols i la massa que has de portar per aconseguir-la.

Mira

Un coet es mou llançant massa cap enrere. Llança-la més ràpid, o llança-ne més i aniràs més ràpid. Hi ha un problema: el combustible que encara no s’ha cremat també s’ha de portar i accelerar. Això fa que el guany sigui logarítmic: per afegir la mateixa quantitat de velocitat una altra vegada, heu de multiplicar el combustible, no afegir- hi.

Delta-v (Δv, “canvi de velocitat”) és la moneda del vol espacial. Cada maniobra té un preu en km/ s:

• Superfície de la Terra a òrbita baixa: uns 9,4 km/s, incloent-hi les pèrdues.
• Òrbita baixa a òrbita geoestacionària: uns 3,9 km/s.
• Òrbita baixa per deixar la Terra cap a Mart: uns 3,6 km/s.

El pressupost d’un coet és quant Δv els seus motors, combustible i massa poden lliurar.

Entesos

Δv = I_ sp · g₀ · ln( m₀ / m_ f)

• I_ sp: impuls específic, una mesura de l’ eficiència del motor en segons (velocitat d’ escape dividida per g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², gravetat estàndard.
• m₀: massa a l’ inici de la crema; m_ f: massa al final.

Example with the second stage of the simulated rocket (Isp 348 s): full, it weighs about 112 tonnes including a 15-tonne payload; empty of propellant, about 19 tonnes. Δv = 348 × 9.81 × ln(112 / 19) ≈ 6.0 km/s. La primera etapa afegeix la resta.

Una sola etapa amb una relació de massa de 10 i Isp 350 s dóna només 7,9 km/s, no suficient per a l’òrbita un cop es compten les pèrdues, i una estructura que és només el 10% del total ja és molt lleugera. És per això que gairebé tots els coets orbitals utilitzen dues o més etapes.

Mestre

L’estructuració multiplica les proporcions de massa. Per a un vehicle de dues etapes,

Δv_ total = I₁ g₀ ln( m₀₁/ m_ f₁) + I₂ g₀ ln( m₀₂/ m_ f₂)

on la massa inicial de la segona etapa exclou tot el que va llençar la primera etapa. Optimitzar la divisió entre etapes (per a Isp igual, aproximadament igual Δv per etapa) és un problema clàssic: fracció de càrrega útil cau exponencialment amb la Δv requerida, raó per la qual baixar la Δv a l’òrbita uns pocs centenars de m/s (llançament a l’est, prop de l’equador) importa tant.

L’equació també explica la lògica de les primeres etapes reutilitzables: volen cap enrere utilitzant combustible que d’altra manera hauria estat capacitat de càrrega útil, comerciant un poc per cent de càrrega útil per no llençar la part més cara del coet.