火箭方程和delta-v

1903年,卡卢加的一位聋哑学校教师康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基(Konstantin Tsiolkovsky)写下了一个方程式,这个方程式至今仍然用来确定每个火箭的大小。 它解释了为什么猎鹰9号大约有89%的推进剂,为什么有效载荷只占起飞重量的几个百分点,以及为什么火箭在上升途中会掉落部分。

每一枚火箭都是你想要的速度和你必须携带的质量之间的竞赛。

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火箭通过向后抛出质量来移动。 把它扔得更快,或者扔得更多,你就会跑得更快。 有一个陷阱:你尚未燃烧的燃料也必须被携带和加速。 这使得收益 对数:要再次添加相同数量的速度,你必须乘以燃料,而不是增加到它。

Delta-v (Δv , ” 速度变化 ” ) 是航天飞行的货币。 每个机动都有一个以公里/秒为单位的价格:

• 地球表面到低轨道:约9.4公里/秒,包括损失。
• 从低地球轨道到地球静止轨道：约3.9公里/秒。
• 离开地球前往火星的低轨道：约3.6公里/秒。

火箭的预算是其发动机、燃料和质量能够提供多少Δv。

理解

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp:比冲,以秒为单位的发动机效率测量(排气速度除以 g₀ ) 。
• g₀ = 9.80665 m/s²,标准重力。
• m₀:燃烧开始时的质量;m_f:燃烧结束时的质量。

模拟火箭(Isp 348 s)第二级的例子:装满后重约112吨,包括15吨有效载荷;没有推进剂时重约19吨。 Δv = 348 × 9.81 × ln (112 / 19) ≈ 6.0公里/秒。 第一阶段加入其余部分。

质量比为10的单级和Isp 350秒只能产生7.9公里/秒,一旦损失被计算在内就不足以达到轨道,而且一个只有总数的10%的结构已经非常轻。 这就是为什么几乎每个轨道火箭使用两级或更多。

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阶段化增加了质量比。 对于两级车辆，

Δv_总数 = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

第二级的起始质量排除了第一级抛弃的一切。 优化阶段之间的分割(对于相同的Isp,每个阶段大致相等的Δv)是一个经典问题: 有效载荷分数 随着所需Δv的指数下降,这就是为什么将Δv降低到几百米/秒的轨道(向东发射,靠近赤道)如此重要。

该方程式还解释了可重复使用的第一级的逻辑：它们利用本来可以用作有效载荷的燃料返回，换取几个百分点的有效载荷而不丢弃火箭最昂贵的部分。