L'équation de la fusée et delta-v

En 1903, un enseignant sourd de Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, écrivit l’équation qui permet encore aujourd’hui de mesurer la taille de chaque fusée. Cela explique pourquoi une Falcon 9 est composée à environ 89% de propulseur, pourquoi la charge utile n’est que quelques pour cent du poids au décollage et pourquoi les fusées abandonnent des parties d’elles-mêmes en chemin.

Chaque fusée est une course entre la vitesse que vous voulez et la masse que vous devez transporter pour l’obtenir.

Regardez.

Une fusée se déplace en jetant de la masse vers l’arrière. Jetez-le plus vite, ou jetez-en plus, et vous allez plus vite. Il y a un piège: le carburant que vous n’avez pas encore brûlé doit également être transporté et accéléré. Cela rend le gain logarithmique: pour ajouter la même quantité de vitesse à nouveau, vous devez multiplier le carburant, pas l’ajouter.

Delta-v (Δv, “changement de vitesse”) est la monnaie des vols spatiaux. Chaque manœuvre a un prix en km/s:

• De la surface de la Terre à l’orbite basse: environ 9,4 km/s, y compris les pertes.
• Orbite basse à orbite géostationnaire: environ 3,9 km/s.
• Orbite basse pour quitter la Terre en direction de Mars: environ 3,6 km/s.

Le budget d’une fusée est la quantité de Δv que ses moteurs, son carburant et sa masse peuvent fournir.

Comprendre

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: impulsion spécifique, mesure de l’efficacité du moteur en secondes (vitesse d’échappement divisée par g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², gravité standard.
• m₀: masse au début de la combustion; m_f: masse à la fin.

Exemple avec le deuxième étage de la fusée simulée (Isp 348 s): plein, il pèse environ 112 tonnes y compris une charge utile de 15 tonnes; vide de propulseur, environ 19 tonnes.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. La première étape ajoute le reste.

Un seul étage avec un rapport de masse de 10 et une Isp de 350 s ne donne que 7,9 km/s, pas assez pour l’orbite une fois les pertes comptées, et une structure qui ne représente que 10% du total est déjà très légère. C’est pourquoi presque toutes les fusées orbitales utilisent deux étages ou plus.

Master

La mise en scène multiplie les rapports de masse. Pour un véhicule à deux étages,

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

où la masse de départ du deuxième étage exclut tout ce que le premier étage a jeté. L’optimisation de la répartition entre les étages (pour un Isp égal, à peu près égale Δv par étage) est un problème classique : la fraction de charge utile diminue exponentiellement avec le Δv requis, ce qui explique pourquoi abaisser le Δv en orbite de quelques centaines de m/s (lancement vers l’est, près de l’équateur) est si important.

L’équation explique également la logique des premiers étages réutilisables : ils reviennent en utilisant du carburant qui aurait autrement été de la capacité de charge utile, en échangeant quelques pour cent de la charge utile pour ne pas jeter la partie la plus chère de la fusée.