Ecuația rachetei și delta-v

În 1903, un profesor surd din Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, a scris ecuația care încă măsoară fiecare rachetă. Explică de ce o rachetă Falcon 9 este formată din aproximativ 89% propulsie, de ce sarcina utilă reprezintă doar câțiva procente din greutatea la decolare și de ce rachetele aruncă părți ale lor în drum spre sus.

Fiecare rachetă este o cursă între viteza pe care o dorești și masa pe care trebuie să o porți pentru a o obține.

Uite.

O rachetă se deplasează aruncând masa înapoi. Aruncă-l mai repede, sau arunca mai mult din ea, și te duci mai repede. Există o capcană: combustibilul pe care nu l-ați ars încă trebuie, de asemenea, să fie transportat și accelerat. Asta face câştigul logaritmic: pentru a adăuga din nou aceeași cantitate de viteză, trebuie să înmulțiți combustibilul, nu să adăugați la acesta.

Delta-v (Δv, “schimbarea vitezei”) este moneda de schimb a zborului spațial. Fiecare manevră are un preț în km/s:

• De la suprafața Pământului până pe orbită joasă: aproximativ 9,4 km/s, inclusiv pierderile.
• Orbita joasă până la orbita geostaționară: aproximativ 3,9 km/s.
• Orbita joasă până la părăsirea Pământului pentru Marte: aproximativ 3,6 km/s.

Bugetul unei rachete este cât Δv pot livra motoarele, combustibilul și masa.

Înţelegeţi.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: impuls specific, o măsură a eficienței motorului în secunde (viteza de evacuare împărțită la g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², gravitație standard.
• m₀: masa la începutul arderii; m_f: masa la sfârșit.

Exemplu cu a doua treaptă a rachetei simulate (Isp 348 s): plină, cântărește aproximativ 112 tone, inclusiv o sarcină utilă de 15 tone; goală de propulsie, aproximativ 19 tone.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Prima etapă adaugă restul.

O singură treaptă cu un raport de masă de 10 și Isp 350 s dă doar 7,9 km/s, insuficient pentru orbită odată ce pierderile sunt numărate, iar o structură care reprezintă doar 10% din total este deja foarte ușoară. De aceea aproape fiecare rachetă orbitală folosește două sau mai multe trepte.

Maestre.

Etapele multiplică raporturile de masă. Pentru un vehicul în două etape,

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

unde masa de pornire a celei de-a doua trepte exclude tot ce a aruncat prima treaptă. Optimizarea divizării între trepte (pentru Isp egal, aproximativ egal Δv pe treaptă) este o problemă clasică: fracția de sarcină utilă scade exponențial cu Δv necesar, motiv pentru care reducerea Δv la orbită cu câteva sute m/s (lansare spre est, aproape de ecuator) contează atât de mult.

Ecuaţia explică şi logica primelor trepte reutilizabile: ele zboară înapoi folosind combustibil care altfel ar fi fost capacitatea de încărcare, schimbând câteva procente din sarcina utilă pentru a nu arunca cea mai scumpă parte a rachetei.