L'equazione del razzo e delta-v

Nel 1903 un insegnante sordo di Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, scrisse l’equazione che ancora oggi misura le dimensioni di ogni razzo. Spiega perché un Falcon 9 è composto per circa l’89% da propellente, perché il carico utile è solo una piccola percentuale del peso al decollo e perché i razzi lasciano cadere parti di se stessi durante la salita.

Ogni razzo è una corsa tra la velocità che vuoi e la massa che devi trasportare per ottenerla.

Guarda.

Un razzo si muove lanciando massa all’indietro. Lancialo più velocemente, o lanciane di più e andrai più veloce. C’è un problema: il carburante che non hai ancora bruciato deve anche essere trasportato e accelerato. Questo rende il guadagno logaritmico: per aggiungere la stessa quantità di velocità, devi moltiplicare il carburante, non aggiungerlo.

Delta-v (Δv, “cambiamento di velocità”) è la valuta del volo spaziale. Ogni manovra ha un prezzo in km/s:

• Dalla superficie terrestre all’orbita bassa: circa 9,4 km/s, comprese le perdite.
• Orbita bassa a orbita geostazionaria: circa 3,9 km/s.
• Orbita bassa fino a lasciare la Terra per Marte: circa 3,6 km/s.

Il budget di un razzo è quanto Δv i suoi motori, il carburante e la massa possono fornire.

Capisci?

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: impulso specifico, una misura dell’efficienza del motore in secondi (velocità dello scarico divisa per g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², gravità standard.
• m₀: massa all’inizio della combustione; m_f: massa alla fine.

Esempio con il secondo stadio del razzo simulato (Isp 348 s): pieno, pesa circa 112 tonnellate compreso un carico utile di 15 tonnellate; vuoto di propellente, circa 19 tonnellate.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Il primo stadio aggiunge il resto.

Un singolo stadio con un rapporto di massa di 10 e Isp 350 s dà solo 7,9 km/s, non abbastanza per l’orbita una volta che le perdite sono contate, e una struttura che è solo il 10% del totale è già molto leggera. Questo è il motivo per cui quasi tutti i razzi orbitali utilizzano due o più stadi.

Maestro.

Lo staging moltiplica i rapporti di massa. Per un veicolo a due stadi,

Δv_totale = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

dove la massa iniziale del secondo stadio esclude tutto ciò che il primo stadio ha gettato via. Ottimizzare la divisione tra gli stadi (per uguale Isp, approssimativamente uguale Δv per stadio) è un problema classico: Frazione di carico utile La velocità di rotazione cade esponenzialmente con la Δv richiesta, ecco perché abbassare la Δv in orbita di qualche centinaio di m/s (lancio ad est, vicino all’equatore) è così importante.

L’equazione spiega anche la logica dei primi stadi riutilizzabili: volano indietro usando il carburante che altrimenti avrebbe avuto capacità di carico utile, scambiando qualche percentuale del carico utile per non buttare via la parte più costosa del razzo.