Trasferimenti Hohmann: orbite che cambiano

Ecco la più strana regola del volo orbitale: per recuperare si rallenta, e per andare più in alto si accelera, dopodiché si finisce col rallentare. Walter Hohmann, un ingegnere urbano tedesco, ha elaborato nel 1925 il modo più economico per spostarsi tra due orbite circolari. Quasi tutti i satelliti in orbita geostazionaria ci sono arrivati usando la sua idea.

Accelerare per salire, e si arriva più lento di quanto hai lasciato.

Guarda.

1. Brucia 1, avanti. La velocità extra non fa andare più veloce il satellite intorno al suo cerchio: allunga il cerchio in un ellisse. Il punto più basso rimane dove è avvenuta la bruciatura; il lato opposto sale all’altezza di destinazione.
2. Coast. Mezza orbita senza motore. Il satellite sale e, come una palla lanciata verso l’alto, rallenta mentre va.
3. Burn 2, avanza di nuovo. In cima è ora troppo lento per rimanere lì e cadrebbe indietro. Una seconda spinta rende l’orbita circolare alla nuova altezza.

Da 300 km all’orbita geostazionaria le due bruciature sommano circa 3,9 km/s, e il viaggio dura circa 5 ore 17 minuti.

Capisci?

La velocità in qualsiasi punto di un’orbita viene da vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Un’ellisse di trasferimento di Hohmann tocca entrambi i cerchi, quindi il suo semiasse maggiore è a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Raggio (in km)	Velocità massima (km/h)
Circolare a 300 km	6,678	7.73
Trasferimento, punto basso	6,678	10.15
Trasferimento, punto alto	42,164	1.61
Circolare, geostazionario	42,164	3.07

Burn 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2,43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1,47 km/s. La costa è la metà del periodo dell’ellisse di trasferimento: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 ore.

(I veri lanci geostazionari devono anche cambiare l’inclinazione dell’orbita dalla latitudine del sito di lancio all’equatore, il che costa di più; lanciare vicino all’equatore fa risparmiare carburante.)

Maestro.

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Il trasferimento di Hohmann è il minimo trasferimento a due impulsi tra orbite circolari coplanari, purché r₂/r₁ < 11,94. Oltre quel rapporto a bi-ellittico Il trasferimento (tre bruciature, andando oltre il bersaglio prima) costa meno Δv, al prezzo di molto più tempo.

Bruciare al punto basso è anche il posto più efficiente per aggiungere energia: Effetto di Oberth Dice che un dato Δv cambia l’energia orbitale maggiormente dove il veicolo spaziale si muove più velocemente, perché Δε ≈ v·Δv.