Hohmann-överföringar: förändrade banor

Här är den konstigaste regeln för orbitalflygning: för att komma ikapp saktar du ner, och för att gå högre accelererar du, varefter du slutar gå långsammare. Walter Hohmann, en tysk stadsingenjör, utarbetade 1925 det billigaste sättet att flytta mellan två cirkulära banor. Nästan varje satellit i geostationär bana kom dit med hjälp av hans idé.

Snabba upp för att klättra, och du kommer långsammare än du lämnade.

Titta.

1. Bränn 1, framåt. Den extra hastigheten gör inte att satelliten går snabbare runt sin cirkel: den sträcker ut cirkeln till en ellipse. Den låga punkten stannar där bränningen inträffade; den bortre sidan stiger till målhöjden.
2. Kusten. En halv bana utan motor. Satelliten klättrar och, som en boll som kastas upp, saktar ner som det går.
3. Bränn 2, framåt igen. På toppen är det nu för långsamt att stanna kvar och skulle falla tillbaka. Ett andra tryck gör att banan blir cirkulär på den nya höjden.

Från 300 km till geostationär bana blir de två förbränningarna sammanlagt ca 3,9 km/s och resan tar ca 5 timmar 17 minuter.

Förstå

Hastigheten vid varje punkt i en bana kommer från vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). En Hohmann-överföringsellips berör båda cirklarna, så dess halvstoraxel är a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Radie (km)	Hastighet (km/s)
Cirkulär vid 300 km	6,678	7.73
Överföring, låg punkt	6,678	10.15
Överföring, hög punkt	42,164	1.61
Cirkulär, geostationär	42,164	3.07

Burn 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2.43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1.47 km/s. Kusten är halva överföringsellipsens period: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 timmar.

(Riktiga geostationära uppskjutningar måste också ändra banans lutning från uppskjutningsplatsens latitud till ekvatorn, vilket kostar mer; att skjuta upp nära ekvatorn sparar bränsle.)

Master

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Hohmannöverföringen är den minsta tvåimpulsöverföringen mellan koplanära cirkulära banor, så länge som r₂/r₁ < 11,94. Bortom detta förhållande a bi- elliptisk överföring (tre bränningar, går bortom målet först) kostar mindre Δv, till priset av mycket mer tid.

Att brinna vid den lägsta punkten är också det mest effektiva sättet att tillföra energi: Oberth-effekten säger att en given Δv ändrar banenergin mest där rymdsonden rör sig snabbast, eftersom Δε ≈ v·Δv.