Хоман трансфери: промяна на орбитите

Ето най-странното правило на орбиталния полет: за да настигнеш, забавяш, а за да се издигнеш, ускоряваш, след което в крайна сметка вървиш по-бавно. Валтер Хоман, немски градски инженер, изработва през 1925 г. най-евтиния начин за придвижване между две кръгови орбити. Почти всеки спътник в геостационарна орбита е достигнал до там, използвайки неговата идея.

Ускорете се, за да се изкачите и ще пристигнете по-бавно, отколкото сте напуснали.

Вижте.

1. Изгаряне 1, напред. Допълнителната скорост не кара спътника да се движи по-бързо около своята окръжност: тя разтяга кръга в една елипса. Ниската точка остава там, където се е случило изгарянето; далечната страна се издига до целевата височина.
2. Брега. Половин орбита без двигател. Сателитът се изкачва и, като хвърлена топка, забавя докато върви.
3. Изгаряне 2, отново напред. На върха вече е твърде бавно да остане там и ще падне обратно. Второ натискане прави орбитата кръгова на новата височина.

От 300 км до геостационарна орбита двете изгаряния се добавят към около 3,9 км/ч, и пътуването отнема около 5 часа и 17 минути.

Разбирам.

Скоростта в която и да е точка на орбитата се получава от vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Прехвърлящата елипса на Хоман се докосва и до двете окръжности, така че нейната голяма полуос е a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Радиус на действие (км)	Скорост (км/ч)
Кръгла на 300 км	6,678	7.73
Трансфер, ниска точка	6,678	10.15
Трансфер, висока точка	42,164	1.61
Кръгла, геостационарна орбита	42,164	3.07

Изгаряне 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2,43 km/s. Изгаряне 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1,47 km/s. Брегът е половината от периода на прехвърлящата елипса: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 часа.

(При истинските геостационарни изстрелвания също трябва да се промени наклона на орбитата от географската ширина на мястото на изстрелване към екватора, което струва повече; изстрелването близо до екватора спестява гориво.)

Господарю.

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Прехвърлянето на Хоман е минималното прехвърляне на два импулса между съпланарни кръгови орбити, докато r₂/r₁ < 11.94. Отвъд това съотношение би-елиптична Прехвърлянето (три изгаряния, преминаващи първо отвъд целта) струва по-малко Δv, но с цената на много повече време.

Изгарянето в най-ниската точка е също така и най-ефективното място за добавяне на енергия: Ефект на Обърт Според тази теория, дадена Δv променя най-много орбиталната енергия там, където космическият апарат се движи най-бързо, защото Δε ≈ v·Δv.