Transferências de Hohmann: mudando órbitas

Aqui está a regra mais estranha do voo orbital: para alcançar você desacelera, e para ir mais alto você acelera, após o qual você acaba indo mais devagar. Walter Hohmann, um engenheiro urbano alemão, trabalhou em 1925 a maneira mais barata de se mover entre duas órbitas circulares. Quase todos os satélites em órbita geoestacionária chegaram lá usando sua ideia.

Acelere para subir, e você chega mais devagar do que saiu.

Olha.

1. Burn 1, forwards. A velocidade extra não faz com que o satélite vá mais rápido em volta de seu círculo: ela estende o círculo em uma ellipse. O ponto baixo permanece onde a queimadura aconteceu; o lado distante sobe para a altura alvo.
2. Costa. Meia órbita sem motor. O satélite sobe e, como uma bola lançada para cima, retarda à medida que vai.
3. Burn 2, avança novamente. No topo agora é muito lento para ficar lá e cairia de volta. Um segundo empurrão faz a órbita circular na nova altura.

A partir de 300 km para a órbita geoestacionária, as duas queimadas somam cerca de 3,9 km/s, e a viagem leva cerca de 5 horas e 17 minutos.

Entenda.

A velocidade em qualquer ponto de uma órbita vem de vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Uma elipse de transferência de Hohmann toca ambos os círculos, então seu semieixo maior é a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Raio (km)	Velocidade máxima (km/h)
Circular a 300 km	6,678	7.73
Transferência, ponto baixo	6,678	10.15
Transferência, ponto alto	42,164	1.61
Circular, geoestacionário	42,164	3.07

Burn 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2,43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1,47 km/s. A costa é metade do período da elipse de transferência: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 horas.

(Lançamentos geoestacionários reais também têm que mudar a inclinação da órbita da latitude do local de lançamento para o equador, o que custa mais; lançar perto do equador economiza combustível.)

Mestre

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

A transferência de Hohmann é a transferência mínima de dois impulsos entre órbitas circulares coplanares, desde que r₂/r₁ < 11,94. Além dessa proporção a bi- elíptica transferência (três queimaduras, indo além do alvo primeiro) custa menos Δv, ao preço de muito mais tempo.

Queimar no ponto baixo é também o lugar mais eficiente para adicionar energia: Efeito de Oberth diz que um dado Δv muda a energia orbital mais onde a nave está se movendo mais rápido, porque Δε ≈ v·Δv.