Hohmann transfers: van baan veranderen

Hier is de vreemdste regel van orbitale vlucht: om in te halen vertraag je, en om hoger te gaan versnel je, waarna je uiteindelijk langzamer gaat. Walter Hohmann, een Duitse stadsingenieur, werkte in 1925 de goedkoopste manier uit om tussen twee cirkelbanen te bewegen. Bijna elke satelliet in een geostationaire baan is daar gekomen met behulp van zijn idee.

Versnel om te klimmen, en je komt langzamer aan dan je vertrokken bent.

Kijk.

1. Burn 1, forwards. De extra snelheid zorgt er niet voor dat de satelliet sneller rond zijn cirkel gaat: het rekt de cirkel uit tot een ellipse. Het lage punt blijft waar de branding plaatsvond; de verre kant stijgt naar de doelhoogte.
2. Kust. Een halve baan zonder motor. De satelliet klimt en, als een omhoog gegooid bal, verlangzaamt hij terwijl hij gaat.
3. Burn 2, vooruit. Boven is het nu te langzaam om daar te blijven en zou terugvallen. Een tweede duw maakt de baan cirkelvormig op de nieuwe hoogte.

Vanaf 300 km naar de geostationaire baan bedragen de twee brandingen samen ongeveer 3,9 km/s en duurt de reis ongeveer 5 uur 17 minuten.

Begrijp je?

De snelheid op elk punt van een baan komt uit vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Een Hohmann-transferellips raakt beide cirkels, dus de grote halve as is a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Straal (km)	Maximale snelheid (km/h)
Circulaire op 300 km	6,678	7.73
Overdracht, laag punt	6,678	10.15
Overdracht, hoog punt	42,164	1.61
Circulaire, geostationaire satelliet	42,164	3.07

Burn 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2.43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1.47 km/s. De kust is de helft van de periode van de transferellips: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 uur.

(Echte geostationaire lanceringen moeten ook de helling van de baan veranderen van de breedtegraad van de lanceerplaats naar de evenaar, wat meer kost; het lanceren in de buurt van de evenaar bespaart brandstof.)

Meester

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

De Hohmann-transfer is de minimale twee-impulsoverdracht tussen coplanaire cirkelbanen, zolang r₂/r₁ < 11,94. Voorbij die verhouding a bi-ellipse De overdracht (drie brandwonden, eerst voorbij het doel) kost minder Δv, ten koste van veel meer tijd.

Branden op het laagste punt is ook de meest efficiënte plaats om energie toe te voegen: de Het Oberth-effect De stelling zegt dat een gegeven Δv de baanenergie het meest verandert waar het ruimtevaartuig zich het snelst beweegt, omdat Δε ≈ v·Δv.