Transfery Hohmanna: zmieniające się orbity

Oto najdziwniejsza zasada lotu orbitalnego: aby dogonić, zwolnij, a aby iść wyżej przyspiesz, po czym w końcu będziesz jechać wolniej. Walter Hohmann, niemiecki inżynier miejski, opracował w 1925 roku najtańszy sposób poruszania się między dwiema kołowymi orbitami. Prawie każdy satelita na orbicie geostacjonarnej dostał się tam dzięki jego pomysłowi.

Przyspieszyć, aby wspiąć się, a przybywasz wolniej niż wyjechałeś.

Spójrz.

1. Burn 1, forwards. Dodatkowa prędkość nie sprawia, że satelita porusza się szybciej po okręgu: rozciąga on okrąg na ellipse. Niski punkt pozostaje w miejscu, gdzie doszło do spalenia; odległa strona wznosi się do wysokości docelowej.
2. Wybrzeże. Pół orbity bez silnika. Satelita wznosi się i, jak rzucona piłka, zwleka w miarę jak idzie.
3. Burn 2, do przodu ponownie. Na górze jest teraz zbyt wolny, aby tam zostać i spadnie z powrotem. Drugie naciśnięcie powoduje, że orbita krąży na nowej wysokości.

Od 300 km do orbity geostacjonarnej, dwa spalenia sumują się do około 3.9 km/s, a podróż trwa około 5 godzin i 17 minut.

Rozumiem.

Prędkość w dowolnym punkcie orbity pochodzi z vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Elipsa transferowa Hohmana styka się z obydwoma okręgami, więc jej półosią większą jest a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Promień (km)	Prędkość (km/s)
Okrągły na 300 km	6,678	7.73
Transfer, niski punkt	6,678	10.15
Transfer, wysoki punkt	42,164	1.61
Okrągły, geostacjonarny	42,164	3.07

Burn 1 = 10.15 − 7.73 ≈ 2,43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1,47 km/s. Wybrzeże jest połowę okresu elipsy transferowej: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 godzin.

(Prawdziwe starty geostacjonarne muszą również zmienić nachylenie orbity z szerokości geograficznej miejsca startu do równika, co kosztuje więcej; start w pobliżu równika oszczędza paliwo).

Master

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Transfer Hohmanna jest minimalnym transferem dwóch impulsów pomiędzy koplanarnymi orbitami kołowymi, tak długo jak r₂/r₁ < 11,94. Poza tym stosunkiem transfer bi-eliptyczny (trzy wypalenia, przechodzące przez cel jako pierwsze) kosztuje mniej Δv, za cenę znacznie dłuższego czasu.

Spalanie w najniższym punkcie jest również najbardziej wydajnym miejscem do dodawania energii: Efekt Obertha Stwierdza, że dana Δv zmienia energię orbitalną najwięcej tam, gdzie statek porusza się najszybciej, ponieważ Δε ≈ v·Δv.