Okna startowe: droga na Marsa

W lipcu 2020 roku w ciągu dwunastu dni trzy misje opuściły Ziemię na Marsa: orbiter Hope Zjednoczonych Emiratów Arabskich, chiński Tianwen-1 i NASAŁazik Perseverance. To nie był przypadek. Do Marsa można tanio dotrzeć tylko wtedy, gdy planety są ustawione w odpowiedniej kolejności, a dzieje się to co 26 miesięcy.

Nie celujecie w planetę. Celujesz w miejsce, gdzie będzie.

Spójrz.

Ziemia i Mars obiegają Słońce, Ziemia na wewnętrznej orbicie i szybciej. Statek kosmiczny opuszczający Ziemię nie leci w linii prostej: podąża za własną orbitą wokół Słońca, półelipsą, która zaczyna się na orbicie Ziemi i kończy na Marsie.

• Podróż trwa około 259 dni na najtańszej ścieżce.
• W tym czasie Mars też się porusza, więc musi być około 44 stopni przed Ziemią w momencie odejścia.
• Ziemia wyprzedza Marsa i ten sam skład powtarza się tylko co 780 dni, około 26 miesięcy.

Przegap okno o kilka tygodni, a podróż będzie kosztować znacznie więcej paliwa lub stanie się niemożliwa dla posiadanej rakiety. Poczekaj, a następne okno jest dwa lata dalej.

Rozumiem.

Traktując obie orbity jako koła (Ziemia w odległości 1 j.a., Mars w odległości 1,524 j.a.) i używając słonecznego μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s²:

• Elipsa przeniesienia ma a = (1 + 1,524)/2 = 1,262 j.a.; jej okres połowiczny wynosi 259 dni.
• Opuszczając Ziemię, statek kosmiczny potrzebuje 2.94 km/s więcej niż Ziemia okrąża Słońce z prędkością 29.8 km/s.
• Przybywa na orbitę Marsa 2.65 km/s wolniej niż Mars i musi zostać przechwycona (następna lekcja).
• Kąt fazy: w 259 dni Mars przechodzi przez 360° × 259/687 ≈ 136°, więc musi zaczynać się o 180° − 136° ≈ 44° do przodu.

Prawdziwe orbity są lekko eliptyczne i pochylone, więc każde okno jest inne; projektanci misji przeszukują tysiące dat startu i przylotu naraz za pomocą “wykresów porkchop”. Płacąc nieco więcej Δv kupuje się krótszą podróż: Perseverance trwała 203 dni.

Master

Okres synodyczny:

1/S = 1/P_Ziemia − 1/P_Mars  →  S = 1 / (1/365,25 − 1/686,98) ≈ 780 dni

Odejście z niskiej orbity Ziemi to nie tylko 2,94 km/s: to hiperboliczna nadmierna prędkość v∞, z którą musi zostać Ziemia. Przy spalaniu na wysokości 200 km, wymagana prędkość wynosi √(v∞² + 2μ_E/r), więc spalanie z orbity parkującej o prędkości 7.79 km/s jest około 3.6 km/s, a efekt Obertha sprawia, że jest to tańsze niż dodanie 2.94 km/s odległości od Ziemi. Pojazdy nośne podają tę wartość jako C3 = v∞² ≈ 8,7 km²/s², co jest minimum dla odlotu z Marsa.