Startovací okna: cesta na Mars

V červenci 2020 opustily Zemi během dvanácti dnů tři mise na Mars: orbitální sonda Spojených arabských emirátů Hope, čínská Tianwen-1 a NASA rover Perseverance. Nebyla to náhoda. Na Mars se lze levně dostat pouze tehdy, když jsou planety správně zarovnány, a to se děje zhruba každých 26 měsíců.

Nezaměřujete se na planetu. Zaměřte se na to, kde bude.

Podívejte se.

Země i Mars obíhají kolem Slunce, Země na vnitřní dráze a rychleji. Kosmická loď, která opouští Zemi, nelétá v přímé linii: sleduje svou vlastní oběžnou dráhu kolem Slunce, poloelipsu, která začíná na oběžné dráze Země a končí na oběžné dráze Marsu.

• Cesta trvá 259 dní po nejlevnější trase.
• V té době se Mars také pohybuje, takže musí být při odchodu asi 44 stupňů před Zemí.
• Země předběhne Mars a stejné sestavení se opakuje pouze každých 780 dní, tedy asi 26 měsíců.

Pokud zmeškáte okno o několik týdnů, bude cesta stát mnohem víc paliva nebo se stane pro vaši raketu nemožnou. Počkejte, další okno je za dva roky.

Pochopte to.

Pokud se obě dráhy považují za kružnice (Země ve vzdálenosti 1 AU, Mars ve vzdálenosti 1,524 AU) a použijeme sluneční μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s²:

• Přenosová elipsa má a = (1 + 1,524)/2 = 1,262 AU; její poločas je 259 dnů.
• Při odchodu ze Země potřebuje kosmická loď 2,94 km/s více než Země 29,8 km/s kolem Slunce.
• Přichází na oběžnou dráhu Marsu 2.65 km/s pomaleji než Mars a musí být zachycen (další lekce).
• Fázový úhel: za 259 dnů Mars pokrývá 360° × 259/687 ≈ 136°, takže musí začít o 180° − 136° ≈ 44° předtím.

Skutečné oběžné dráhy jsou mírně eliptické a nakloněné, takže každé okno je jiné; návrháři misí prohledávají tisíce startů a příletů najednou pomocí “vepřových plotů”. Zaplacením o něco více Δv si koupíte kratší cestu: Perseverance trvala 203 dnů.

Mistr

Perioda oběhu:

1/S = 1/P_Země − 1/P_Mars  →  S = 1 / (1/365,25 − 1/686,98) ≈ 780 dnů

Odklon z nízké oběžné dráhy Země není jen 2,94 km/s: to je hyperbolická nadměrná rychlost v∞, kterou musí Země přežít. Při vzletu ve výšce 200 km je požadovaná rychlost √(v∞² + 2μ_E/r), takže vzlet z parkovací oběžné dráhy 7,79 km/s je asi 3,6 km/s a díky Oberthovu efektu je levnější než přidání 2,94 km/s od Země. Nosné rakety uvádějí tuto hodnotu jako C3 = v∞² ≈ 8,7 km²/s², což je minimum pro odlet z Marsu.