Lansirni prozori: put do Marsa

U srpnju 2020. tri misije napustile su Zemlju za Mars u roku od dvanaest dana: orbiter Hope Ujedinjenih Arapskih Emirata, kineski Tianwen-1 i rover Perseverance NASA. To nije bila slučajnost. Do Marsa se može jeftino doći samo kada su planeti poravnati, a to se događa svakih 26 mjeseci.

Ne ciljate na planet. Ciljaš na mjesto gdje će biti.

Gledaj.

Zemlja i Mars kruže oko Sunca, a Zemlja je na unutarnjoj putanji i brže. Svemirska letjelica koja napušta Zemlju ne leti u ravnoj liniji: ona slijedi svoju orbitu oko Sunca, polu-elipsu koja počinje na Zemljinoj orbiti i završava na Marsovoj.

• Putovanje traje oko 259 dana na najjeftinijem putu.
• U to vrijeme Mars se pomiče i dalje, tako da mora biti oko 44 stupnja naprijed Zemlje na odlasku.
• Zemlja pregazi Mars i isti se raspored ponavlja samo svakih 780 dana, oko 26 mjeseci.

Propustite prozor za nekoliko tjedana i putovanje će koštati mnogo više goriva, ili postati nemoguće za raketu koju imate. Čekaj, a sljedeći prozor je dvije godine daleko.

Razumijem.

Prihvaćajući obje orbite kao kružnice (Zemlja na 1 AJ, Mars na 1.524 AJ) i koristeći Sunčevu μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s²:

• Prijenosna elipsoida ima a = (1 + 1,524)/2 = 1,262 AJ; njezin poluperiod iznosi 259 dana.
• Napuštajući Zemlju, svemirska letjelica treba 2,94 km/s Zemlja se okreće oko Sunca brzinom od 29,8 km/s.
• Stiže u Marsovu orbitu 2.65 km/s sporije od Marsa i mora biti uhvaćen (sljedeća lekcija).
• Fazni kut: za 259 dana Mars prekriva 360° × 259/687 ≈ 136°, tako da mora početi 180° − 136° ≈ 44° unaprijed.

Prave orbite su blago eliptične i nagnute, tako da je svaki prozor drugačiji; dizajneri misija pretražuju tisuće datuma lansiranja i dolaska odjednom s “svinjskim plotovima”. Plaćanje malo više Δv kupuje kraće putovanje: Perseverance je trajao 203 dana.

Gospodaru.

Sinodsko razdoblje:

1/S = 1/P_Zemlja − 1/P_Mars  →  S = 1 / (1/365,25 − 1/686,98) ≈ 780 dana

Odlazak iz niske Zemljine orbite nije jednostavno 2,94 km/s: to je hiperbolična brzina v∞ s kojom se Zemlja mora ostaviti. Za izgaranje na visini od 200 km, potrebna brzina je √(v∞² + 2μ_E/r), tako da je izgaranje iz parkirne orbite od 7.79 km/s oko 3,6 km/s, a Oberthov efekt čini to jeftinijim nego dodavanje 2.94 km/s udaljenosti od Zemlje. Lansirne letjelice navode ovu vrijednost kao C3 = v∞² ≈ 8,7 km²/s², što je minimum za odlazak s Marsa.