Finestres de llançament: el camí a Mart

Al juliol de 2020, tres missions van deixar la Terra per Mart en dotze dies: l’orbidor Hope dels Emirats Àrabs Units, el Tianwen-1 xinès i el rover Perseverance de NASA. Això no va ser una coincidència. A Mart només es pot arribar barat quan els planetes estan alineats just a la dreta, i això passa cada 26 mesos.

No apunteu cap planeta. Apunteu a on serà.

Mira

La Terra i Mart orbiten el Sol, la Terra en la trajectòria interior i més ràpid. Una nau espacial que deixa la Terra no vola en línia recta: segueix la seva pròpia òrbita al voltant del Sol, una semi-el·lipse que comença a l’òrbita de la Terra i acaba a la de Mart.

• El viatge triga uns 259 dies per la ruta més barata.
• En aquest temps Mart també es mou, de manera que ha d’estar uns 44 graus per davant de la Terra en el moment de la sortida.
• La Terra supera Mart i la mateixa alineació es repeteix només cada 780 dies, uns 26 mesos.

Si perds la finestra d’unes setmanes, el viatge costarà molt més combustible o es farà impossible pel coet que tens. Espera, i la propera finestra és a dos anys.

Entesos

Treating both orbits as circles (Earth at 1 AU, Mars at 1.524 AU) and using the Sun’s μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s²:

• L’el·lipse de transferència té a = (1 + 1,524)/2 = 1,262 UA; la meitat del seu període és 259 dies.
• Abandonant la Terra, la nau espacial necessita 2.94 km/s més que els 29.8 km/s de la Terra al voltant del Sol.
• Arriba a l’òrbita de Mart 2,65 km/s més lentament que Mart i ha de ser capturat (següent lliçó).
• Angle de fase: en 259 dies Mart cobreix 360° × 259/687 ≈ 136°, per tant ha d’iniciar 180° − 136° ≈ 44° més endavant.

Les òrbites reals són lleugerament el·líptiques i inclinades, de manera que cada finestra és diferent; els dissenyadors de missions busquen milers de dates de llançament i arribada a la vegada amb “porkchop plots”. Pagar una mica més Δv compra un viatge més curt: Perseverance va trigar 203 dies.

Mestre

Període sinòdic:

1/S = 1/P_Earth − 1/P_Mars  →  S = 1 / (1/365.25 − 1/686.98) ≈ 780 days

La sortida de l’òrbita baixa de la Terra no és simplement 2,94 km/s: això és l’excés hiperbòlic de velocitat v∞ que ha de quedar a la Terra. Cremant a 200 km d’altitud, la velocitat requerida és √(v∞² + 2μ_E/r), de manera que la crema des d’una òrbita d’estacionament de 7,79 km/s és d’uns 3,6 km/s, i l’efecte Oberth el fa més barat que afegir 2,94 km/s lluny de la Terra. Els vehicles de llançament ho citen com C3 = v∞² ≈ 8,7 km²/s², el mínim per a una sortida de Mart.