หน้าต่างการเริ่ม: ทางไปดาวอังคาร

In July 2020 three missions left Earth for Mars within twelve days: the United Arab Emirates’ Hope orbiter, China’s Tianwen-1 and NASA’s Perseverance rover. นั่นไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ดาวอังคารสามารถไปถึงได้ในราคาถูก เมื่อดาวเคราะห์เรียงตัวกันอย่างเหมาะสม และนั่นเกิดขึ้นทุกๆ 26 เดือน

นายไม่ได้ตั้งเป้าไปที่ดาวเคราะห์ นายจ้องที่จุดที่มันจะอยู่

ดูสิ

โลกและดาวอังคารทั้งสองโคจรรอบดวงอาทิตย์ โลกอยู่บนเส้นทางด้านใน และเร็วกว่า ยานอวกาศที่ออกจากโลก ไม่ได้บินในเส้นตรง มันตามโคจรรอบดวงอาทิตย์ของตัวเอง เป็นครึ่งวงกลม ที่เริ่มต้นจากโคจรของโลก และจบลงที่ดาวอังคาร

• ใช้เวลาประมาณ 259 วัน ทางที่ถูกที่สุด
• ในช่วงเวลานั้นดาวอังคารก็เคลื่อนไหวไปด้วย ดังนั้นมันคงจะเกี่ยวกับ 44 องศาไปข้างหน้า โลกตอนออกเดินทาง
• โลกผ่านดาวอังคารไป และลำดับเดียวกันนี้เกิดขึ้นอีกทุกๆ 780 วันประมาณ 26 เดือน

พลาดหน้าต่างไปสองสามสัปดาห์ และการเดินทางจะต้องใช้เชื้อเพลิงมากขึ้น หรือไม่ก็เป็นไปไม่ได้สำหรับจรวดที่คุณมี Wait, and the next window is two years away.

เข้าใจ

ใช้วงโคจรทั้งสองเป็นวงกลม (โลกอยู่ที่ 1 AU, ดาวอังคารอยู่ที่ 1.524 AU) และใช้ μ ของดวงอาทิตย์ = 1.327 × 10¹¹ km³/ s²:

• รูปทรงยาวไกลศูนย์กลางมีค่า a = (1 + 1.524)/2 = 1.262 AU; ครึ่งอายุของมันคือ 259 วัน
• ออกจากโลก ยานอวกาศต้อง 2.94 กิโลเมตรต่อวินาที มากกว่าโลกของเราเอง 29.8 กิโลเมตรต่อวินาทีรอบดวงอาทิตย์
• มันมาถึงวงโคจรของดาวอังคาร 2.65 km/s ช้ากว่าดาวอังคาร และต้องถูกจับได้ (บทเรียนถัดไป)
• มุมของช่วง: ใน 259 วันดาวอังคารปกคลุม 360° × 259/687 ≈ 136°, ดังนั้นมันจะต้องเริ่มต้น 180° − 136° ≈ 44° ไปข้างหน้า

วงโคจรจริงเป็นรูปไข่เล็กน้อย และมองไปทางอื่น ดังนั้นทุกหน้าต่างจะแตกต่างกัน การจ่ายเงินเพิ่มอีกเล็กน้อย Δv จะซื้อการเดินทางที่สัมผัสได้เร็วขึ้น: ความอดทนใช้เวลา 203 วัน

เจ้านาย

ช่วงเวลาของการเคลื่อนไหว:

1/S = 1/P_Earth − 1/P_Mars  → S = 1 / (1/365.25 − 1/686.98) ≈ 780 วัน

การออกจากวงโคจรต่ำของโลก ไม่ใช่แค่ 2.94 กม/วินาที นั่นคือความเร็วที่เกินไปของฮิเปอร์โบลิค v∞ ที่โลกต้องอยู่กับ การเผาไหม้ที่ความสูง 200 กิโลเมตร ความเร็วที่จำเป็นคือ √(v∞² + 2μ_E/r) ดังนั้นการเผาไหม้จากวงโคจรจอดรถ 7.79 กิโลเมตรต่อวินาที คือประมาณ 3.6 กิโลเมตรต่อวินาที และปรากฏการณ์โอเบิร์ธทำให้มันถูกกว่าการเพิ่มระยะห่างจากโลก 2.94 กิโลเมตรต่อวินาที เครื่องบินลำนี้อ้างถึงความเร็วนี้ว่า C3 = v∞² ≈ 8.7 km²/s² ซึ่งเป็นค่าที่น้อยที่สุดสำหรับการเดินทางไปดาวอังคาร