Štartovací okná: cesta na Mars

V júli 2020 opustili Zem tri misie na Mars v priebehu dvanástich dní: orbiter Spojených arabských emirátov Hope, čínska sonda Tianwen-1 a NASARover Perseverance. Nebola to náhoda. Mars sa dá lacno dosiahnuť len vtedy, keď sú planéty správne zarovnané a to sa deje približne každých 26 mesiacov.

Nemieriš na planétu. Zameriate sa na to, kde bude.

Pozri.

Zem a Mars obiehajú okolo Slnka, Zem na vnútornej dráhe a rýchlejšie. Kozmická loď opúšťajúca Zem neletí v priamej línii: sleduje svoju vlastnú obežnú dráhu okolo Slnka, pol elipsu, ktorá začína na obežnej dráhe Zeme a končí na obežnej dráhe Marsu.

• Cesta trvá približne 259 dní na najlacnejšej trase.
• V tom čase sa Mars tiež pohybuje, takže musí byť približne 44 stupňov pred Zemou pri odchode.
• Zem predbehne Mars a rovnaké usporiadanie sa opakuje len každých 780 dní, teda asi 26 mesiacov.

Ak vynecháte okno o niekoľko týždňov, výlet bude stáť oveľa viac paliva alebo sa stane nemožným pre raketu, ktorú máte. Počkajte, ďalšie okno je o dva roky ďalej.

Pochopte to.

Ak sa obe dráhy považujú za kružnice (Zeme vo vzdialenosti 1 AU, Mars vo vzdialenosti 1,524 AU) a použijeme Slnečnú μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s²:

• Prechodová elipsa má a = (1 + 1,524)/2 = 1,262 AU; jej poločas je 259 dní.
• Opúšťanie Zeme, kozmická loď potrebuje 2,94 km/s Zem obieha okolo Slnka rýchlosťou 29,8 km/s.
• Prichádza na obežnú dráhu Marsu 2.65 km/s pomalšie ako Mars a musí byť zachytený (ďalšia lekcia).
• Fázový uhol: za 259 dní Mars pokryje 360° × 259/687 ≈ 136°, takže musí začať o 180° − 136° ≈ 44° vpredu.

Skutočné obežné dráhy sú mierne eliptické a naklonené, takže každé okno je iné; návrhári misií vyhľadávajú tisícky dátumov štartu a príletu naraz pomocou tzv. „bravčovej kosti“. Zaplatením o niečo viac Δv si kúpite kratší výlet: Perseverance trval 203 dní.

Majster

Synodic period:

1/S = 1/P_Earth − 1/P_Mars  →  S = 1 / (1/365,25 − 1/686,98) ≈ 780 dní

Odchod z nízkej obežnej dráhy Zeme nie je len 2,94 km/s: to je hyperbolická nadmerná rýchlosť v∞, s ktorou musí Zem zostať. Pri horení vo výške 200 km je požadovaná rýchlosť √(v∞² + 2μ_E/r), takže horenie z parkovacej obežnej dráhy 7,79 km/s je asi 3,6 km/s a Oberthov efekt robí to lacnejšie ako pridanie 2,94 km/s vzdialenosti od Zeme. Nosné rakety uvádzajú túto hodnotu ako C3 = v∞² ≈ 8,7 km²/s², čo je minimum pre odlet z Marsu.