Hohmannove transfery: zmena obežných dráh

Tu je najpodivnejšie pravidlo orbitálneho letu: aby ste dohonili, spomaľujete a aby ste sa dostali vyššie, zrýchľujete, po ktorom skončíte tým, že idete pomalšie. Walter Hohmann, nemecký mestský inžinier, vypracoval v roku 1925 najlacnejší spôsob pohybu medzi dvoma kruhovými obežnými dráhami. Takmer každý satelit na geostacionárnej dráhe sa tam dostal pomocou jeho nápadu.

Zrýchlite stúpanie a prídete pomalšie, ako ste odišli.

Pozri.

1. Burn 1, forwards. Extra rýchlosť neznamená, že satelit sa pohybuje rýchlejšie okolo svojho kruhu: naťahuje ho do elipsy. Nízky bod zostáva tam, kde došlo k spáleniu; ďalšia strana sa zdvihne do cieľovej výšky.
2. Pobrežie. Polovica obežnej dráhy bez motora. Satelit stúpa a ako hodená lopta sa spomaľuje, keď ide.
3. Spáľ 2, znova dopredu. Na vrchole je teraz príliš pomalý na to aby tam zostal a spadol by späť. Druhý ťah spôsobí, že orbita bude kruhová v novej výške.

Z 300 km na geostacionárnu obežnú dráhu sa obe spaľovanie sčítajú do približne 3,9 km/s a cesta trvá asi 5 hodín 17 minút.

Pochopte to.

Rýchlosť v ktoromkoľvek bode obežnej dráhy pochádza z vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Hohmannova transferová elipsa sa dotýka oboch kruhov, takže jej veľká poloos je a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Polomer (km)	Rýchlosť (km/h)
Kruhový objazd na 300 km	6,678	7.73
Prenos, nízky bod	6,678	10.15
Prenos, vysoký bod	42,164	1.61
Kruhový, geostacionárny	42,164	3.07

Burn 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2,43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1,47 km/s. Pobrežie je polovičná perióda transferovej elipsy: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 hodín.

(Skutočné geostacionárne štarty tiež musia zmeniť sklon obežnej dráhy zo zemepisnej šírky miesta štartu na rovník, čo stojí viac; štartovanie blízko rovníka šetrí palivo.)

Majster

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Hohmannov prenos je minimálny dvojimpulzový prenos medzi koplanárnymi kruhovými obežnými dráhami, pokiaľ r₂/r₁ < 11,94. Nad tento pomer a bi-eliptické Prenos (tri vypálenia, prvé prechádzanie cez cieľ) stojí menej Δv, za cenu oveľa viac času.

Spaľovanie v nízkom bode je tiež najúčinnejším miestom na pridanie energie: Oberthov efekt V prípade, že Δv mení orbitálnu energiu najviac tam, kde sa kozmická loď pohybuje najrýchlejšie, pretože Δε ≈ v·Δv.