Transferències Hohmann: canviant òrbites

Aquesta és la regla més estranya del vol orbital: per arribar al límit alentiu, i per anar més amunt accelereu, després d’això acabeu anant més lent. Walter Hohmann, un enginyer alemany de la ciutat, va treballar el 1925 la manera més barata per moure’s entre dues òrbites circulars. Gairebé tots els satèl·lits en òrbita geoestacionària han arribat fins aquí utilitzant la seva idea.

Accelera per pujar, i arribes més lent del que vas sortir.

Mira

1. Creu 1, endavant. La velocitat extra no fa que el satèl· lit vagi més ràpid al voltant del seu cercle: estira el cercle en una el· lipse. El punt baix es queda on va passar la crema; el costat oposat s’eleva a l’altura de l’objectiu.
2. Costa. Mitja òrbita sense motor. El satèl·lit puja i, com una pilota llançada cap amunt, alentix mentre va.
3. Creu 2, avança de nou. A la part superior ara és massa lent per quedar-s’hi i es retrocediria. Una segona empenta fa que l’òrbita sigui circular a la nova altura.

Des de 300 km a l’òrbita geoestacionària les dues cremades sumen uns 3,9 km/s, i el viatge dura unes 5 hores i 17 minuts.

Entesos

La velocitat en qualsevol punt d’una òrbita prové de vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Una el·lipse de transferència de Hohmann toca ambdós cercles, així que el seu semieix major és a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Radi (km)	Velocitat (km/ s)
Circular a 300 km	6,678	7.73
Transferència, punt baix	6,678	10.15
Transferència, punt alt	42,164	1.61
Circular, geoestacionari	42,164	3.07

Burn 1 = 10.15 − 7.73 ≈ 2.43 km/s. Burn 2 = 3.07 − 1.61 ≈ 1.47 km/s. La costa és la meitat del període de l’el·lipse de transferència: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 hores.

(Els llançaments geoestacionaris reals també han de canviar la inclinació de l’òrbita des de la latitud del lloc de llançament a l’equador, que costa més; el llançament prop de l’equador estalvia combustible.)

Mestre

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

La transferència de Hohmann és la transferència mínima de dos impulsos entre òrbites circulars coplanars, mentre que r₂/r₁ < 11.94. Més enllà d’ aquesta relació a bi- el· líptica transferència (tres cremades, anant més enllà de l’objectiu primer) costa menys Δv, al preu de molt més temps.

Cremar en el punt baix és també el lloc més eficient per afegir energia: la Efecte de sobrecàrrega diu que un determinat Δv canvia l’energia orbital més on la nau espacial es mou més ràpid, perquè Δε ≈ v·Δv.