Hohmannovy transfery: měnící se oběžné dráhy

Zde je nejpodivnější pravidlo orbitálního letu: abyste dohnali, zpomalujete, a abyste se dostali výše, zrychlujete, poté skončíte tím, že budete jít pomaleji. Walter Hohmann, německý městský inženýr, vypracoval v roce 1925 nejlevnější způsob pohybu mezi dvěma kruhovými oběžnémi dráhami. Téměř každý satelit na geostacionární dráze se tam dostal díky jeho nápadu.

Zrychlete stoupání a přijedete pomaleji, než jste odešli.

Podívejte se.

1. Spal 1, dopředu. Zvýšená rychlost neznamená, že se satelit pohybuje rychleji kolem svého kruhu: natahuje jej do elipsy. Nejnižší bod zůstává tam, kde došlo k popálení; vzdálenější strana stoupá do cílové výšky.
2. Pobřeží. Půl oběžné dráhy bez motoru. Satelit stoupá a jako míč, který se vrhá nahoru, zpomaluje při svém pohybu.
3. Spal 2, znovu dopředu. Na vrcholu je teď příliš pomalý na to, aby tam zůstal a spadl by zpět. Druhý zátah způsobí, že se oběžné dráhy budou v nové výšce kruhovat.

Z 300 km na geostacionární oběžnou dráhu se obě spalování sčítají asi 3,9 km/s a cesta trvá asi 5 hodin 17 minut.

Pochopte to.

Rychlost v jakémkoli bodě oběžné dráhy pochází z vis-viva: v = √(μ(2/r − 1/a)). Hohmannova přenosová elipsa se dotýká obou kružnic, takže její velká poloosa je a_t = (r₁ + r₂)/2.

	Poloměr (km)	Rychlost (km/h)
Kruhový objezd na 300 km	6,678	7.73
Přenos, nízký bod	6,678	10.15
Přenos, vysoký bod	42,164	1.61
Kruhový, geostacionární	42,164	3.07

Burn 1 = 10,15 − 7,73 ≈ 2,43 km/s. Burn 2 = 3,07 − 1,61 ≈ 1,47 km/s. Pobřeží je poloviční periodou přenosové elipsy: π√(a_t³/μ) ≈ 5,3 hodin.

(Skutečné geostacionární starty také musí změnit sklon oběžné dráhy ze zeměpisné šířky startovacího místa na rovník, což stojí více; startování blízko rovníku šetří palivo.)

Mistr

Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1),   Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Hohmannův přenos je minimální dvouhistický přenos mezi koplanárními kruhovými dráhami, pokud r₂/r₁ < 11,94. Za tímto poměrem a bi-eliptické přenos (tři vypálení, nejprve přes terč) stojí méně Δv, za cenu mnohem více času.

Hoření v nejnižším bodě je také nejúčinnějším místem pro přidání energie: Oberthův jev říká, že daná Δv mění orbitální energii nejvíce tam, kde se kosmická loď pohybuje nejrychleji, protože Δε ≈ v·Δv.