Raketová rovnice a delta-v

V roce 1903 neslyšící učitel v Kaluze Konstantin Ciolkovskij sepsal rovnici, která dodnes určuje velikost každé rakety. Vysvětluje, proč je Falcon 9 tvořen z 89 % pohonnými hmotami, proč užitečné zatížení představuje jen několik procent hmotnosti při vzletu a proč rakety při cestě nahoru vyhazují části sebe samých.

Každá raketa je závod mezi rychlostí, kterou chcete a hmotností, kterou musíte nést, abyste ji získali.

Podívejte se.

Raketa se pohybuje tím, že vrhá hmotu dozadu. Hoďte ji rychleji, nebo hoďte více a budete jít rychleji. Je tu háček: palivo, které jste ještě nespálili, musí být také přepravováno a zrychlováno. To dělá zisk logaritmická: abyste znovu přidali stejné množství rychlosti, musíte palivo vynásobit, ne k němu přidávat.

Delta-v (Δv, “změna rychlosti”) je měnou vesmírného letu. Každý manévr má cenu v km/s:

• Ze zemského povrchu na nízkou oběžnou dráhu: asi 9,4 km/s včetně ztrát.
• Nízká oběžná dráha na geostacionární oběžnou dráhu: asi 3,9 km/s.
• Nízká oběžná dráha k opuštění Země na Mars: asi 3,6 km/s.

Rozpočet rakety je to, kolik Δv mohou její motory, palivo a hmotnost dodat.

Pochopte to.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: specifický impuls, měřítko účinnosti motoru v sekundách (rychlost výfuku dělená g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², standardní gravitace.
• m₀: hmotnost na začátku spalování; m_f: hmotnost na konci.

Příklad s druhým stupněm simulované rakety (Isp 348 s): naplněný váží asi 112 tun včetně 15tunového užitečného zatížení; prázdný od pohonného materiálu, asi 19 tun.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. První fáze přidává zbytek.

Jednostupňový stupeň s hmotnostním poměrem 10 a Isp 350 s dává pouze 7,9 km/s, což není dost na oběžnou dráhu, když se započítávají ztráty, a struktura, která je jen 10% celkové hmotnosti, je již velmi lehká. Proto téměř každá orbitální raketa používá dva nebo více stupňů.

Mistr

Staging násobí hmotnostní poměry. Pro dvoustupňové vozidlo,

Δv_celkem = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

kde počáteční hmotnost druhého stupně vylučuje vše, co první stupeň odhodil. Optimalizace rozdělení mezi stupně (pro stejnou Isp, zhruba stejné Δv na stupeň) je klasický problém: frakce užitečného zatížení klesá exponenciálně s požadovanou Δv, což je důvod, proč snížení Δv na oběžnou dráhu o několik set m/s (start východ, blízko rovníku) je tak důležité.

Rovnice také vysvětluje logiku opakovaně použitelných prvních stupňů: letí zpět s využitím paliva, které by jinak bylo užitečnou kapacitou, a vyměňují několik procent užitečného zatížení za to, že nevyhodí nejdražší část rakety.