Rakettiyhtälö ja delta-v

Vuonna 1903 kuuro kouluopettaja Kalugassa, Konstantin Tsiolkovski, kirjoitti yhtälön, joka vielä määrittää jokaisen raketin koon. Se selittää, miksi Falcon 9 on noin 89% polttoainetta, miksi hyötykuorma on vain muutama prosentti painoa noustessaan ja miksi raketit pudottaa osia itsestään matkalla ylös.

Jokainen raketti on kilpajuoksu halutun nopeuden ja sen massan välillä, joka sinun täytyy kantaa saadaksesi sen.

Katso.

Raketti liikkuu heittämällä massaa taaksepäin. Heitä se nopeammin, tai heittää enemmän sitä, ja mene nopeammin. On olemassa saalis: polttoainetta et ole vielä polttanut on myös kuljetettava ja kiihdytettävä. Se tekee voitosta logaritminen: lisätäksesi saman määrän nopeutta uudelleen, sinun täytyy kertoa polttoainetta, ei lisätä sitä.

Delta-v (Δv, “nopeuden muutos”) on avaruuslennon valuutta. Jokaisella liikkeellä on hinta km/s:ssä:

• Maan pinnalta matalalle kiertoradalle: noin 9,4 km/s, mukaan lukien häviöt.
• Matala kiertorata geostationaariselle radalle: noin 3,9 km/s.
• Matala kiertorata Maasta Marsiin: noin 3,6 km/s.

Rakettibudjetti on se, kuinka paljon Δv sen moottorit, polttoaine ja massa voivat tuottaa.

Ymmärrän.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: ominaisimpulssi, moottorin tehokkuuden mitta sekunteina (pakokaasun nopeus jaettuna g₀:llä).
• g₀ = 9,80665 m/s², vakiogravitaatio.
• m₀: massa palamisen alussa; m_f: massa palamisen lopussa.

Esimerkki simuloidusta raketista (Isp 348 s): täynnä se painaa noin 112 tonnia, mukaan lukien 15 tonnin hyötykuorma; tyhjänä se painaa noin 19 tonnia.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Ensimmäinen vaihe lisää loput.

Yksivaiheinen raketti, jonka massasuhde on 10 ja Isp 350 s antaa vain 7.9 km/s, mikä ei riitä kiertoradalle kun häviöt lasketaan, ja rakenne, joka on vain 10% kokonaismäärästä on jo hyvin kevyt. Siksi lähes jokaisessa kiertoradalla olevassa raketissa on kaksi tai useampi vaihe.

Mestari.

Staging moninkertaistaa massasuhteet. Kaksivaiheiselle ajoneuvolle,

Δv_yhteensä = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

Toisen vaiheen aloitusmassaan ei sisälly kaikki, mitä ensimmäinen vaihe heitti pois. Vaiheiden välisen jakauman optimointi (yhtäläinen Isp, suunnilleen yhtä suuri Δv vaihetta kohti) on klassinen ongelma: hyötykuorman murto-osa Nopeus laskee eksponentiaalisesti tarvittavan Δv:n kanssa, minkä vuoksi Δv:n alentaminen muutamalla sadalla m/s (lähtö itään, lähelle päiväntasaajaa) on niin tärkeää.

Yhtälö selittää myös uudelleenkäytettävien ensimmäisten vaiheiden logiikan: ne lentävät takaisin käyttämällä polttoainetta, joka muuten olisi ollut hyötykuormaa, ja vaihtavat muutaman prosentin hyötykuormasta sen varmistamiseksi, ettei raketin kalleinta osaa heitetä pois.