Równanie rakiety i delta-v

W 1903 roku głuchy nauczyciel szkoły w Kałudze, Konstantin Ciołkowski, zapisał równanie, które do dziś określa rozmiar każdej rakiety. Wyjaśnia to, dlaczego Falcon 9 jest w około 89% paliwem, dlaczego ładunek przy startie stanowi zaledwie kilka procent masy i dlaczego rakiety wyrzucają części siebie podczas lotu.

Każda rakieta to wyścig między prędkością, jaką chcesz osiągnąć, a masą, którą musisz przenieść, aby ją uzyskać.

Spójrz.

Rakieta porusza się przez rzucanie masy do tyłu. Rzuć ją szybciej, albo rzuć więcej i pójdziesz szybciej. Jest jeden haczyk: paliwo, którego jeszcze nie spaliłeś musi być również przenoszone i przyspieszane. To daje zysk logarytmiczna: aby dodać taką samą ilość prędkości ponownie, należy pomnożyć paliwo, a nie dodawać do niego.

Delta-v (Δv, “zmiana prędkości”) jest walutą lotów kosmicznych. Każdy manewr ma cenę w km/s:

• Z powierzchni Ziemi na niską orbitę: około 9,4 km/s, włączając straty.
• Niska orbita do orbity geostacjonarnej: około 3,9 km/s.
• Niska orbita do opuszczenia Ziemi na Marsa: około 3,6 km/s.

Budżet rakiety to ilość Δv, jaką mogą dostarczyć jej silniki, paliwo i masa.

Rozumiem.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: impuls właściwy, miara sprawności silnika w sekundach (prędkość spalin podzielona przez g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², ciężar standardowy.
• m₀: masa na początku spalania; m_f: masa na końcu.

Przykład z drugim stopniem symulowanej rakiety (Isp 348 s): pełny, waży około 112 ton w tym ładunek 15-tonowy; pusty od paliwa, około 19 ton.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Pierwszy etap dodaje resztę.

Pojedynczy stopień o stosunku masy 10 i Isp 350 s daje tylko 7,9 km/s, nie wystarczająco dużo na orbitę po policzeniu strat, a struktura, która stanowi zaledwie 10% całkowitej masy jest już bardzo lekka. Dlatego prawie każda rakieta orbitalna wykorzystuje dwa lub więcej stopni.

Master

Staging mnoży stosunki masy. Dla pojazdu dwustopniowego,

Δv_całkowita = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

gdzie masa początkowa drugiego stopnia wyklucza wszystko, co pierwszy stopień wyrzucił. Optymalizacja podziału między etapami (przy równym Isp, w przybliżeniu równe Δv na etapie) jest klasycznym problemem: Ułamek ładunku Prędkość spada wykładniczo wraz z wymaganą Δv, dlatego obniżenie Δv na orbitę o kilkaset m/s (start na wschód, blisko równika) ma tak duże znaczenie.

Równanie to wyjaśnia również logikę wielokrotnego użytku pierwszych stopni: lecą one z powrotem, wykorzystując paliwo, które w przeciwnym razie byłoby ładunkiem użytkowym, wymieniając kilka procent ładunku za niewyrzucenie najdroższej części rakiety.