La ecuación del cohete y delta-v

En 1903, un maestro de escuela sordo en Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, escribió la ecuación que todavía mide cada cohete. Explica por qué un Falcon 9 tiene alrededor del 89% de propelente, por qué la carga útil es solo un pequeño porcentaje del peso al despegue y por qué los cohetes caen partes de sí mismos en el camino hacia arriba.

Cada cohete es una carrera entre la velocidad que quieres y la masa que debes llevar para conseguirla.

Mira.

Un cohete se mueve lanzando masa hacia atrás. Lanza más rápido, o tira más de él, y vas más rápido. Hay un problema: el combustible que no se ha quemado todavía también debe ser llevado y acelerado. Eso hace la ganancia logarítmica: para volver a añadir la misma cantidad de velocidad, hay que multiplicar el combustible, no añadirle.

Delta-v (Δv, “cambio de velocidad”) es la moneda del vuelo espacial. Cada maniobra tiene un precio en km/s:

• Superficie de la Tierra a órbita baja: alrededor de 9,4 km/s, incluyendo pérdidas.
• Órbita baja a órbita geoestacionaria: alrededor de 3,9 km/s.
• Órbita baja para salir de la Tierra hacia Marte: alrededor de 3,6 km/s.

El presupuesto de un cohete es cuánto Δv sus motores, combustible y masa pueden entregar.

Entender

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: impulso específico, una medida de la eficiencia del motor en segundos (velocidad de escape dividida por g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², gravedad estándar.
• m₀: masa al comienzo de la combustión; m_f: masa al final.

Ejemplo con la segunda etapa del cohete simulado (Isp 348 s): llena, pesa alrededor de 112 toneladas incluyendo una carga útil de 15 toneladas; vacía de propelente, alrededor de 19 toneladas.Δv = 348 × 9.81 × ln(112 / 19) ≈ 6.0 km/s. La primera etapa añade el resto.

Una sola etapa con una relación de masas de 10 y Isp 350 s da solo 7,9 km/s, no suficiente para la órbita una vez que se cuentan las pérdidas, y una estructura que es solo el 10% del total ya es muy ligera. Es por eso que casi todos los cohetes orbitales utilizan dos o más etapas.

Master

La estadificación multiplica las relaciones de masa. Para un vehículo de dos etapas,

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

donde la masa inicial de la segunda etapa excluye todo lo que la primera etapa tiró. Optimizar la división entre etapas (para Isp igual, aproximadamente igual Δv por etapa) es un problema clásico: fracción de carga útil La velocidad de la luz cae exponencialmente con el Δv requerido, por lo que bajar el Δv a órbita en unos pocos cientos m/s (lanzando al este, cerca del ecuador) es tan importante.

La ecuación también explica la lógica de las primeras etapas reutilizables: vuelan de vuelta usando combustible que de otra manera habría sido capacidad de carga útil, intercambiando un pequeño porcentaje de carga útil para no tirar la parte más cara del cohete.