Raket ekvationen och delta-v

1903 skrev en döv skollärare i Kaluga, Konstantin Tsiolkovsky, ner ekvationen som fortfarande används för att bestämma storleken på varje raket. Det förklarar varför en Falcon 9 är ungefär 89% drivmedel, varför nyttolasten är bara några procent av vikten vid start och varför raketer släpper delar av sig själva på väg upp.

Varje raket är en kapplöpning mellan den hastighet du vill ha och den massa du måste bära för att få den.

Titta.

En raket rör sig genom att kasta massa bakåt. Kasta den snabbare, eller kasta mer av det, och du går fortare. Det finns en fångst: det bränsle du inte har förbränt ännu måste också bäras och accelereras. Det gör vinsten logaritmisk: för att öka hastigheten igen måste du multiplicera bränslet, inte lägga till det.

Delta-v (Δv, “förändring i hastighet”) är valutan för rymdfärder. Varje manöver har ett pris i km/s:

• Jordens yta till låg omloppsbana: ca 9,4 km/s, inklusive förluster.
• Låg omloppsbana till geostationär bana: ca 3,9 km/s.
• Låg omloppsbana till att lämna jorden för Mars: ca 3,6 km/s.

En rakets budget är hur mycket Δv dess motorer, bränsle och massa kan leverera.

Förstå

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: specifik impuls, ett mått på motorns verkningsgrad i sekunder (avgashastighet dividerat med g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², standardgravitation.
• m₀: massa vid början av förbränningen; m_f: massa vid slutet.

Exempel med det andra steget av den simulerade raketen (Isp 348 s): full, väger den ca 112 ton inklusive en 15-tons nyttolast; tom på drivmedel, ca 19 ton.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Det första steget lägger till resten.

Ett ensteg med ett massförhållande på 10 och Isp 350 s ger bara 7,9 km/s, inte tillräckligt för omlopp när förlusterna är räknade, och en struktur som endast är 10% av det totala är redan mycket lätt. Det är därför nästan varje orbital raket använder två eller flera steg.

Master

Stegning multiplicerar massförhållanden. För ett tvåstegsfordon,

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

där det andra stegets startmassa exkluderar allt som det första steget kastade bort. Att optimera splitten mellan stegen (för lika Isp, ungefär lika Δv per steg) är ett klassiskt problem: nyttolastfraktion Denna kraft minskar exponentiellt med den erforderliga Δv, vilket är anledningen till att sänka Δv till omloppsbana med några hundra m/s (uppskjutning österut, nära ekvatorn) spelar så stor roll.

Ekvationen förklarar också logiken bakom återanvändbara första steg: de flyger tillbaka med bränsle som annars skulle ha varit nyttolast, och byter ut några procent av nyttolasten mot att inte kasta bort den dyraste delen av raketen.