A rakétaegyenlet és a delta-v

1903-ban egy kalugai siket tanár, Konsztantyin Ciolkovszkij leírta azt az egyenletet, amely ma is minden rakéta méretét meghatározza. Ez magyarázza, hogy miért van egy Falcon 9-ben kb. 89% hajtóanyag, miért csak néhány százaléka a hasznos tehernek az indításkor, és miért dobnak el a rakéták részeket felfelé haladva.

Minden rakéta egy verseny a kívánt sebesség és az ahhoz szükséges tömeg között.

Nézd!

A rakéta a tömeget hátrafelé dobva mozog. Dobd gyorsabban, vagy dobj többet belőle, és gyorsabban megy. Van egy csapda: az üzemanyag, amit még nem égett el, szintén szállítani kell és fel kell gyorsítani. Ez teszi a nyereséget logaritmikus: hogy ugyanannyi sebességet adjunk hozzá, meg kell szorozni az üzemanyagot, nem pedig hozzáadni.

Delta-v (Δv, “változás a sebességben”) az űrrepülés pénzneme. Minden manővernek van ára km/s-ban:

• A Föld felszínétől az alacsony pályáig: kb. 9,4 km/s, veszteségekkel együtt.
• Alacsony pályáról geostacionárius pályára: kb. 3,9 km/s
• A Földről a Mars felé tartó alacsony pálya körüli sebesség: kb. 3,6 km/s

A rakéta költségvetése az, hogy mennyi Δv-t tudnak a hajtóművek, üzemanyag és tömeg biztosítani.

Értsd meg.

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: fajlagos impulzus, a motor hatékonyságának mértéke másodpercben (a kipufogógáz-sebesség g₀-el osztva).
• g₀ = 9,80665 m/s², standard gravitáció.
• m₀: az égés kezdetén mért tömeg; m_f: az égés végén mért tömeg.

Példa a szimulált rakéta második fokozatával (Isp 348 s): megtöltve körülbelül 112 tonna, beleértve a 15 tonnás hasznos terhet; hajtóanyag nélkül körülbelül 19 tonna.Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 km/s. Az első szakasz hozzáadja a többit.

Egy 10-es tömegáttételű és 350 másodperces ISP-vel rendelkező egyfokozatú rakéta csak 7,9 km/s sebességet ad le, ami nem elég a pályára álláshoz, ha figyelembe vesszük a veszteségeket is, és egy olyan szerkezet, amely az összsúlynak csak 10%-át teszi ki, már így is nagyon könnyű. A rakéta két vagy több fokozatból áll, melyek közül az egyik a föld körüli pályára áll.

Mester!

A csoportosítás megsokszorozza a tömegarányokat. Kétfokozatú jármű esetén

Δv_összesen = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

A második fokozat kiindulási tömege nem tartalmazza az első fokozat által eldobott összes anyagot. A fokozatok közötti eloszlás optimalizálása (egyenlő Isp, nagyjából egyenlő Δv fokozatonként) klasszikus probléma: a Hasznos teher frakció A szükséges Δv-vel exponenciálisan csökken, ezért a Δv néhány száz m/s-os csökkentése (keleti irányból, az Egyenlítő közeléből történő indítás) olyan fontos.

Az egyenlet megmagyarázza az újrafelhasználható első fokozatok logikáját is: olyan üzemanyaggal repülnek vissza, amely egyébként hasznos teher lenne, a hasznos teher néhány százalékát elcserélve azért, hogy ne dobják ki a rakéta legdrágább részét.