Η εξίσωση του πυραύλου και το δέλτα-v

Το 1903, ένας κωφός δάσκαλος στην Καλούγκα, ο Κονσταντίν Τσιόλκοφσκι, έγραψε την εξίσωση που ακόμα και σήμερα καθορίζει το μέγεθος κάθε πυραύλου. Εξηγεί γιατί ένας Φάλκον 9 είναι περίπου 89% προωθητικό, γιατί το ωφέλιμο φορτίο είναι μόνο μερικά τοις εκατό του βάρους κατά την απογείωση και γιατί οι πύραυλοι ρίχνουν μέρη τους στην πορεία προς τα πάνω.

Κάθε πύραυλος είναι ένας αγώνας μεταξύ της ταχύτητας που θέλετε και τη μάζα που πρέπει να μεταφέρουν για να το πάρει.

Κοίτα.

Ένας πύραυλος κινείται πετώντας μάζα προς τα πίσω. Ρίξτε το πιο γρήγορα, ή ρίξτε περισσότερο από αυτό, και θα πάει πιο γρήγορα. Υπάρχει μια παγίδα: το καύσιμο που δεν έχετε κάψει ακόμα πρέπει επίσης να μεταφερθεί και να επιταχυνθεί. Αυτό κάνει το κέρδος λογαριθμική: για να προσθέσετε την ίδια ταχύτητα και πάλι, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το καύσιμο, όχι να προσθέσετε σε αυτό.

Δέλτα-v (Δv, “αλλαγή στην ταχύτητα”) είναι το νόμισμα της διαστημικής πτήσης. Κάθε ελιγμός έχει μια τιμή σε χλμ/δευτερόλεπτο:

• Από την επιφάνεια της Γης σε χαμηλή τροχιά: περίπου 9,4 χλμ/δευτερόλεπτο, συμπεριλαμβανομένων των απωλειών.
• Χαμηλή τροχιά προς γεωστατική τροχιά: περίπου 3,9 χλμ/δευτερόλεπτο.
• Χαμηλή τροχιά για να φύγει από τη Γη προς τον Άρη: περίπου 3,6 χλμ/δευτ.

Ο προϋπολογισμός ενός πυραύλου είναι το πόσο Δv οι κινητήρες, τα καύσιμα και η μάζα του μπορούν να παραδώσουν.

Καταλάβετε

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• ειδική ώθηση, ένα μέτρο της απόδοσης του κινητήρα σε δευτερόλεπτα (ταχύτητα εξάτμισης διαιρεμένη με g₀).
• g₀ = 9,80665 m/s², πρότυπη βαρύτητα.
• m₀: μάζα στην αρχή της καύσης, m_f: μάζα στο τέλος.

Παράδειγμα με το δεύτερο στάδιο του προσομοιωμένου πυραύλου (Isp 348 s): γεμάτο, ζυγίζει περίπου 112 τόνους συμπεριλαμβανομένου ενός ωφέλιμου φορτίου 15 τόνων· άδειο από προωθητικό, περίπου 19 τόνους.Δv = 348 × 9.81 × ln(112 / 19) ≈ 6.0 km/s. Το πρώτο στάδιο προσθέτει τα υπόλοιπα.

Ένα μονό στάδιο με λόγο μάζας 10 και χρόνο εκτόξευσης 350 δευτ. δίνει μόνο 7,9 χλμ/δευτ., όχι αρκετά για τροχιά αφού υπολογιστούν οι απώλειες, και μια δομή που αποτελεί μόνο το 10% του συνόλου είναι ήδη πολύ ελαφριά. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο σχεδόν κάθε τροχιακός πύραυλος χρησιμοποιεί δύο ή περισσότερα στάδια.

Κύριε.

Η σταδιοποίηση πολλαπλασιάζει τις αναλογίες μάζας. Για ένα δύο σταδίων όχημα,

Δv_σύνολο = I₁ g₀ ln(m₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₁₂/m_f₂)

όπου η αρχική μάζα του δεύτερου σταδίου αποκλείει όλα όσα πέταξε το πρώτο στάδιο. Η βελτιστοποίηση του διαχωρισμού μεταξύ των σταδίων (για ίσο περίπου ίσο ανά στάδιο) είναι ένα κλασικό πρόβλημα: κλάσμα ωφέλιμου φορτίου Η ταχύτητα του δορυφόρου πέφτει εκθετικά με την απαιτούμενη Δv, γι’ αυτό και η μείωση της Δv σε τροχιά κατά μερικές εκατοντάδες m/s (εκτόξευση ανατολικά, κοντά στον Ισημερινό) έχει τόσο μεγάλη σημασία.

Η εξίσωση εξηγεί επίσης τη λογική των επαναχρησιμοποιήσιμων πρώτων σταδίων: πετάνε πίσω χρησιμοποιώντας καύσιμα που διαφορετικά θα ήταν ωφέλιμο φορτίο, ανταλλάσσοντας μερικά τοις εκατό του ωφέλιμου φορτίου για να μην πετάξει το πιο ακριβό μέρος του πυραύλου.