Уравнение ракеты и дельта-v

В 1903 году глухой учитель в Калуге Константин Циолковский написал уравнение, которое до сих пор определяет размер каждой ракеты. Это объясняет, почему ракета-носитель Falcon 9 состоит примерно на 89% из топлива, почему полезная нагрузка составляет лишь несколько процентов от веса при запуске и почему ракеты сбрасывают части себя по пути вверх.

Каждая ракета - это гонка между скоростью, которую вы хотите, и массой, которую вы должны нести, чтобы получить ее.

Посмотри.

Ракета движется, бросая массу назад. Бросай быстрее, или бросай больше, и ты будешь ехать быстрее. Есть ловушка: топливо, которое вы еще не сожгли, также должно быть перенесено и ускорено. Это приносит выгоду логарифмическая: чтобы добавить то же количество скорости снова, вы должны умножить топливо, а не добавлять к нему.

Дельта-v (Δv, «изменение скорости») — это валюта космических полетов. Каждый маневр имеет стоимость в км/с:

• С поверхности Земли на низкую орбиту: около 9,4 км/с, включая потери.
• Низкая орбита - геостационарная орбита: около 3,9 км/с.
• Низкая орбита до вылета с Земли на Марс: около 3,6 км/с.

Бюджет ракеты — это количество Δv, которое могут выдержать её двигатели, топливо и масса.

Понимаю

Δv = I_sp · g₀ · ln(m₀ / m_f)

• I_sp: удельный импульс, показатель эффективности двигателя в секундах (скорость потока отработавших газов, деленная на g₀).
• g₀ = 9,80665 м/с², стандартное притяжение.
• m₀: масса в начале сгорания; m_f: масса в конце.

Пример со второй ступенью имитированной ракеты (Isp 348 s): полная, она весит около 112 тонн, включая 15-тонную полезную нагрузку; без топлива, около 19 тонн. Δv = 348 × 9,81 × ln(112 / 19) ≈ 6,0 км/с. Первый этап добавляет остальные.

Одноступенчатая ракета с массовым соотношением 10 и периодом вращения 350 с даёт только 7,9 км/с, что недостаточно для орбиты после подсчета потерь, а структура, составляющая лишь 10% от общей массы, уже очень легкая. Именно поэтому почти каждая орбитальная ракета использует две или более ступеней.

Мастер

Степень умножает массовые соотношения. Для двухступенчатого транспортного средства:

Δv_total = I₁ g₀ ln(m₀₁/m_f₁) + I₂ g₀ ln(m₀₂/m_f₂)

где начальная масса второй ступени исключает всё, что была выброшена первой ступенью. Оптимизация распределения между ступенями (для равных Isp, приблизительно равная Δv на ступень) является классической проблемой: частица полезной нагрузки уменьшается экспоненциально с требуемой Δv, что объясняет, почему понижение Δv до орбиты на несколько сотен м/с (запуск на восток, близ экватора) имеет такое большое значение.

Это уравнение также объясняет логику многоразового использования первых ступеней: они летят обратно, используя топливо, которое в противном случае было бы полезной нагрузкой, уступая несколько процентов полезной нагрузки за то, чтобы не выбрасывать самую дорогую часть ракеты.