Orbital insertion: att fångas

Den 10 mars 2006, efter sju månader i rymden, NASAMars Reconnaissance Orbiter avfyrade sina sex huvudmotorer i 27 minuter. Under en del av den tiden var den bakom Mars, utan radiokontakt: ingen på jorden kunde veta om den hade fungerat. Om bränningen hade misslyckats skulle rymdsonden ha flugit förbi Mars och in i en ändlös bana runt solen.

Att komma fram är inte tillräckligt. Du måste fångas.

Titta.

En rymdfarkost “stoppar” inte vid en planet. Den faller mot den, accelereras när den kommer närmare, på en öppen kurva som kallas en hyperbol. Lämnad ensam skulle den piska runt planeten och klättra iväg igen, lika snabbt som den kom in.

För att stanna måste den tappa fart i exakt rätt ögonblick, det närmaste anfallet:

1. Fånga eld. Motorer avfyrar mot rörelseriktningen. En blygsam bränning förvandlar den öppna kurvan till en lång, sluten ellipse.
2. Luftbromsning. Istället för att bränna mer bränsle sänker styrsystemen omloppsbanans lägsta punkt till den tunna toppen av atmosfären. Varje gång man passerar, saktar ett litet luftmotstånd ner rymdfarkosten och den höga punkten sjunker.
3. Vetenskapsbanan. Efter hundratals förbiflygningar under ungefär fem månader nådde MRO en låg, nästan cirkulär bana på cirka 250 x 316 km uppåt och kunde börja kartlägga Mars.

Förstå

Rymdsonden kommer från jorden på en Hohmann-liknande bana och når Mars omkring 2,65 km/s långsammare än Mars. Från Mars synpunkt är det dess “hastighet i oändligheten”, v∞. Faller till 426 km ovanför ytan, det accelererar upp till

v = √(v∞² + 2μ/r) = √(2,65² + 2 × 42,828 / 3,822) ≈ 5,4 km/s

På en ellips från 426 km till 44,500 km måste hastigheten vid den lägsta punkten vara 4.56 km/s (vis-viva). Den ideala, ögonblickliga infångningsbränningen är därför ca 0.87 km/s. En riktig 27-minuters brinntid är mindre effektiv eftersom den sprids ut längs kurvan; MRO:erna saktade ner rymdsonden med ungefär 1 km/s.

Att fånga in den rakt i en låg cirkulär bana skulle kosta ungefär 2 km/s (se Try it). Aerobromsning sparar det mesta av den skillnaden, och det sparade bränslet blir rymdfarkoster och vetenskap.

Master

En hyperbel har halvstoraxeln a = −μ/v∞² och excentriciteten e = 1 + r_p v∞²/μ. Flygtiden från avstånd till periapsis bestäms av den hyperbolska Kepler-ekvationen M = e sinh F − F.

Infångningen Δv vid periapsis r_p till en ellips med apoapsis r_a är

Δv = √(v∞² + 2μ/r_p) − √(2μ r_a / (r_p (r_p + r_a)))

vilket är minst för en mycket lång ellips (r_a → stor): rymdsonden fångas knappt. Det är därför ankomster först går in i en lös bana, och varför aerobraking eller flera mindre bränningar följer. För bemannade Mars-uppdrag, skulle aerocapture (en enda djup passage genom atmosfären bakom en värmesköld) kunna ersätta fångstbränningen helt och hållet.